Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Continuité sur un intervalle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Continuité sur un intervalle. | |
Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un intervalle par une fonction continue. Corollaire : cas d’une fonction continue strictement monotone. Théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Image d’un segment par une fonction continue. | Principe de démonstration par dichotomie. |
Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injective, est strictement monotone. | La démonstration n’est pas exigible. |
Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 681
La fonction \(\dfrac 1x\) est-elle lipschitzienne sur \(]0, + \infty[\) ? sur ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...
exo7 683
Étudier la continuité des fonctions suivantes :
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 687
Montrer que l’équation \(x^7-3\,x^2+4\,x-1=0\) admet au moins une solution dans l’intervalle ...
exo7 688
Soient \(n \in \N^*\) et \(d \in \R^+\). Démontrer en utilisant le théorème des v ...
exo7 691
Soit la fonction \(f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R\), définie par ...
exo7 695
On dit qu’un ensemble \(A\) de fonctions définies sur un intervalle \(I=[a,b]\) d ...
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...