Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Matrices
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et la relation d’équivalence qui s’en déduit sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ;
- introduire brièvement la relation de similitude sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$.
exo7 904
Soient les vecteurs \(e_1=(1,2,3,4)\), \(e_2=(1,-2,3,-4)\) de ...
exo7 968
Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
exo7 997
Soit \((\Sigma )\) le système d’équations linéaires : ...
Interprétation de filtres classiques
On donne les quatre noyaux suivants : ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Inversiblité de matrice
VRAI-FAUX - Soit \(A\) une matrice carrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles so ...
Noyaux séparables et gain de calcul
Un noyau \(K\) de taille \(k \times k\) est dit séparable s’il p ...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Réduction d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la ba ...
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution de système linéaire
Résoudre le système : ...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). On considère le système linéaire : ...
Système linéaire à paramètre
Soit ...
Systèmes à paramètre
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(\lambda\) les systèmes suivants sont de Cramer. Résoudre alors les systèm ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) définie par ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
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