Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Matrices
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et la relation d’équivalence qui s’en déduit sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ;
- introduire brièvement la relation de similitude sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$.
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3425
Résoudre le système : ...
exo7 3426
Soient \(A \in \mathcal{M}_{p,q}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,p}(K)\). Montrer ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3433
Soit \(n\ge 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3438
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\), ...
exo7 3442
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3445
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) telle qu’il existe \(a \ne 0\) tel que ...
exo7 3461
Chercher les rangs des matrices suivantes :
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3464
Chercher ...
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...
exo7 3468
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(\mathrm{rg}(M) = 1 \iff\) il exi ...
exo7 3469
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) de rang 1. Montrer que \(A\) est une matrice de p ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3472
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 3474
Soit \(M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Déterminer ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3476
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)\) tq ...
exo7 3477
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,r}(K)\). Chercher ...
exo7 3478
Soit \(A \in \mathcal{M}_{2}(K)\). Chercher le rang de l’application ...
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3482
Soit une matrice \(M\) de rang \(r\) telle que : ...
exo7 3483
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3503
Diagonaliser ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3506
Soit ...
exo7 3507
Soit ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3510
Soit \(E = K_n[X]\) et ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3517
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). L’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 3524
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
exo7 3526
Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3538
Soit l’application \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\R)} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, M \mapsto {^tM.}\) Calculer sa trace par ...
exo7 3540
Soit \(p\) premier et \(A\in\mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...