Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
PGCD de deux polynômes dont l’un au moins est non nul. | Tout diviseur commun à $A$ et $B$ de degré maximal est appelé un PGCD de $A$ et $B$. |
Algorithme d’Euclide. | L’ensemble des diviseurs communs à $A$ et $B$ est égal à l’ensemble des diviseurs d’un de leurs PGCD. Tous les PGCD de $A$ et $B$ sont associés. Un seul est unitaire, on le note $A \wedge B$. |
Relation de Bézout. | Détermination d’un couple de Bézout par l’algorithme d’Euclide étendu. |
PPCM. | Notation $A \vee B$. |
Couple de polynômes premiers entre eux. Théorème de Bézout. Lemme de Gauss. PGCD d’un nombre fini de polynômes, relation de Bézout. Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble, premiers entre eux deux à deux. | Adaptation des résultats présentés lors de l’étude de l’arithmétique dans $\mathbb{Z}$. |
exo7 411
Montrer que le polynôme \(X^3+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Factor ...
exo7 425
Déterminer, s’il en existe, tous les idéaux \(J\) de \(\mathbb{R}[X]\) tels que : ...
exo7 434
Montrer que si \(n\geq 3,\) l’équation \(x^{n}+y^{n}=z^{n}\) n’a pas de solution ...
exo7 5317
Déterminer le PGCD de \(X^6-7X^4+8X^3-7X+7\) et \(3X^5-7X^3+3X^2-7\).
exo7 5334
Déterminer deux polynômes \(U\) et \(V\) vérifiant ...
exo7 5338
Soit \(F=\frac{P}{Q}\) où \(P\) et \(Q\) sont de ...
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 6526
Soit \(\mathbb{F}\) un corps et \(P,\; Q\in \mathbb{F}[X]\) tels que ...
exo7 6528
Utiliser l’algorithme d’Euclide dans \(\Q[X]\) pour exprimer le pgcd demandé sous forme de combinaison linéaire de ...
exo7 6532
Soit \(a\in \Z\) un nombre sans facteurs carrés, \(a\not\in \{ -1,\; 0,\; 1\}\). ...
exo7 6957
Déterminer les pgcd des polynômes suivants:
exo7 6964
Existe-t-il une fraction rationnelle \(F\) telle que ...
exo7 6965
Soit \(F=\frac{P}{Q}\) une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu’il existe une fracti ...
exo7 6971
On pose \(Q_0=(X-1)(X-2)^2\), \(Q_1=X(X-2)^2\) et ...
exo7 7316
Déterminer le pgcd et le ppcm des polynômes \(X^5 - 3X^4 + X^3 + 2X^2 - 6X +2\) et ...
exo7 7320
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(d\) un diviseur de ...
exo7 7328
Le polynôme \((X^2+X+1)^3\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\) ?
exo7 7330
Résoudre dans \(\R[X]\) le système de congruences ...
exo7 7331
Le polynôme \(X^2+1\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\) ?
exo7 7332
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...
exo7 7395
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...
exo7 7398
On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\) ...
exo7 959
Soit \(E = \Rr_n[X]\) et soient \(A\) et \(B\) d ...