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Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...

Soit \(a \in \R\).

Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k\). La série de terme général ...

Trouver la partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}\).

Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \frac1{n\ln^2 n}\).

Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et ...

Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite réelle positive décroissante telle que ...

Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...

On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose ...

Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite positive. On pose ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente.

Étudier la convergence de la série de terme géné ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...

Soit \(\alpha > 0\). On pose ...

Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...

Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...

Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

Soit \((a_n)\) une série positive convergente, \(A = \sum_{k=0}^\infty a_k\), ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...

Soit \(\cal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que ...

Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...

On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Étudier la finitude des sommes suivantes :

Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...

Soit \(u_n(x) = (-1)^n\ln\left(1+\frac x{n(1+x)}\right)\) et ...

Soit \(f_n(x) = \frac{(-1)^n\cos^nx}{n+1}\).

Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...

On pose \(u_n = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \dots + \frac 1{n!}\).

Soit \(f : {\N} \to {\N}\) injective. Montrer que ...

Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...

Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).

Un ivrogne part à un instant donné d’un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arb ...

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...

Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite positive telle que la série de terme général ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...

Soit \(\alpha\in\Rr\). Nature de la série de terme général ...

On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).

A partir de la série précédente, on cons ...