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On nomme \(M_n({\Zz})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coeffic ...

Soient \(a,b\in\Cc\). L’application \(f:\Cc\to\Cc,z\mapsto iz-\overline{z}\) est- ...

Soient les ensembles ...

Soit \(D=\left\{f\in \Rr[X]: f'(0)=0\right\}.\) Montrer que \(D\) n’est pas u ...

On définit sur \(\Rr\) les deux lois \(\oplus\) et ...

Soit \((G, + )\) un groupe commutatif. On note \(\text{End} (G)\) l’ensemble des ...

Soit \((A, +, \times)\) un anneau. On dit que \(x \in A\) est nilpotent ssi il e ...

Soit \((A, +, \times)\) un anneau.
On appelle centre de \(A\) l’ensemble ...

Soient \(A\) et \(B\) deux anneaux. On définit sur ...

Montrer que si \(A_1, \ldots, A_n\) sont des sous-anneaux de \(A\) alors ...

Soit \(\Zz[i] = \left\{ a + ib, (a, b) \in \Zz^2\right\}\).

Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit que \(a\in A\) est nilpotent s’il existe ...

Sur l’ensemble \(\Rr^2,\) on définit la loi \(\star\) par ...

On définit \(A=\left\{a+jb:a,b\in \Zz\right\}\) où \(j=\exp(\frac {2i\pi}3)\). ...

\(\mathcal{J}=\left\{ \left( \alpha ,\alpha \right) :\alpha \in \Zz \right\}\) est-il un idéal de l’anneau ...

Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\Zz {/}n\Zz\) si et s ...

Soit l’anneau \(A=\Zz{/}91\Zz\).

Soit \(\mathcal{J}=\left\{ P\in \Zz\left[ X\right] :P\left( 0\right) \in 2 \Zz\right\} .\)

Soit \(A\) un anneau fini commutatif intègre (i.e. \(xy=0\Rightarrow x=0\) ou ...

Soit \(A\) un anneau, on dit que \(x\in A\) est nilpotent si ...

Déterminer les automorphismes du corps \(\Qq\).

Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et ...

Soit \(M=\left\{aI_2+bJ\in\mathcal{M}_2(\Rr):a,b\in\Rr\right\}\) où ...

Montrer que l’ensemble \(S\) des suites réelles convergentes est une \(\Rr\)-algè ...

Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...

Un automorphisme d’un corps \(\mathbb{K}\) est une application bijective ...

Donner la liste des générateurs de \((\Z /n\Z ,+) .\)

Soit \(f\) un morphisme de groupes de \(\Zz/15\Zz\) dans ...

Soit \(E\) un monoı̈de unitaire. On dit qu’un élément \(a\) de ...

Soient \(n\geq 0\) un entier et \(p\) un nombre premier tels que ...

Trouver \[999\cdot 1998\mod 1999, \qquad 136^7 \mod 137, \qquad 1997\cdot 1998\cdot 1999\cdot 2000 \mod 2001.\] ...

Soit \(p\) un nombre premier et \(a\) un nombre pr ...

Donner la définition d’un corps. Les opérations binaires \(+\) et \(\cdot\), sont ...

Trouver toutes les solutions des équations :

Soit \(A\) un anneau. Démontrer que :

Si \(x\cdot y\) est inversible dans un anneau \(A\), alors ...

Démontrer que tout anneau intègre fini est un corps.

Lesquels de ces sous-ensembles donnés de \(\Cc\) sont des anneaux ? Lesquels sont ...

Les éléments inversibles d’un anneau \(A\) forment le groupe multiplicatif ...

Un élément \(a\) d’un anneau \(A\) s’appelle nilpotent, s’il existe ...

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). On note par ...

Montrer que les éléments nilpotents d’un anneau forment un idéal.

Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_3[x]\) et ...

Soient \(A=\Zz [\sqrt{-3}]\) et \(K\) son corps de fractions. Montrer que ...

Démontrer que tout morphisme d’un corps dans un anneau non-trivial est injectif.

Soit \(R\) un anneau intègre dans lequel toute chaı̂ne décroissante d’idéaux est finie. Démontrer que ...

Montrer que dans un anneau fini tout idéal premier est maximal.

Soit \(A\) un anneau. Trouver les anneaux quotients ...

Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo ...

Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors ...