Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Calcul matriciel et systèmes linéaires
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Cette section a pour but de présenter une initiation au calcul matriciel, de préparer l’étude géométrique de l’algèbre linéaire menée au second semestre et de revenir sur l’étude des systèmes linéaires. Dans cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Opérations sur les matrices 111
- b) Opérations élémentaires 15
- c) Systèmes linéaires 90
- d) Ensemble des matrices carrées 259
Inversion d'une matrice
Soit ...
Jeu et suite
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, il a une probabilité de ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Matrices de permutation et signature
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un \(1\) par ligne et un ...
Matrices inversibles
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Dans l’affirmative, déterminer la matrice inverse. ...
Matrices inversibles
Déterminer \(a\) tel que la matrice ...
Matrices inversibles
Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse :
...
Matrices, déterminants et inversion
Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs co ...
Modélisation et matrices
Voici les ventes d’une buvette lors d’un festival de musique, ainsi que les prix pratiqués en euros:
Produit matriciel
Soient les matrices \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) et ...
Produit matriciel
On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1\end{pmatrix}\). ...
Produit matriciel
On considère les matrices suivantes: ...
Puissance d'une matrice à paramètres
Soit la matrice de ...
Réseau entièrement linéaire : équivalence avec un neurone simple
On considère un réseau \(1 \to 3 \to 1\) dont toutes les activations sont linéaires (identité).
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution d'un système linéaire
On considère le système de trois équations à trois inconnues \(x,y,z\) suivant : ...
Résolution d'équation matricielle
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices définies par ...
Résolution de système linéaire à coefficients complexes
Résoudre le système linéaire à coefficients complexes suivant : ...
Résolution de système linéaire à paramètre
Résoudre les deux systèmes linéaires suivants en distinguant les cas selon les valeurs de ...
Résolution de système linéaire à paramètre
Résoudre le système d’équations suivant, où \(x, y, z \in \mathbb{R}_{+}^*\) : ...
Résolution de système linéaire à paramètre, homogène et non homogène
On considère les systèmes suivants : ...
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Système linéaire avec paramètre et déterminant
Considérer le système suivant dépendant d’un paramètre réel \(m\) :
...
Système linéaire avec trop d'inconnues
Résoudre le système d’équations : ...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). On considère le système linéaire : ...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) un paramètre réel. On considère le système linéaire suivant : ...
Système linéaire à paramètre
Soit ...
Systèmes
Résoudre les systèmes linéaires suivants :
...
Systèmes avec variable
Résoudre les systèmes suivants, en fonction de \(a,b,c\) et \(d\) : ...
Systèmes à paramètre
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(\lambda\) les systèmes suivants sont de Cramer. Résoudre alors les systèm ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Étude d'une matrice à paramètres
Soit la matrice ...