Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue sur un segment à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Interprétation géométrique de l’intégrale. Notations $\displaystyle\int_{[a,b]}f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité, positivité et croissance de l’intégrale. Inégalité triangulaire intégrale : $\left\lvert\displaystyle\int_{[a,b]}f\right\rvert\leqslant\displaystyle\int_{[a,b]}\lvert f\rvert$. | |
Relation de Chasles. | Extension de la notation $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ au cas où $b\leqslant a$. Propriétés correspondantes. |
Si $f$ est continue, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et si $\displaystyle\int_{[a,b]}f=0$, alors $f=0$. | |
Intégrale d’une fonction paire ou impaire sur un segment centré en 0. Intégrale d’une fonction périodique sur un intervalle de période. | Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment. |
exo7 4279
Calculer par récurrence : \(I_n = \int_{t=0}^1 \frac{t^n\,d t}{\sqrt[4]{t^3(1-t)}}\).
exo7 4281
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...
exo7 4282
Soit \(f:\R \to \R\) continue, périodique de période \(T > 0\). On note ...
exo7 4283
Soit \(f\) une application continue de \([1,+\infty[\) dans ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4287
Soit \(f : {[a,b[} \to {\R^+}\) continue croissante. On pose ...
exo7 4288
Calculer ...
exo7 4290
Soit \(f : {\R^+} \to \R\). On pose, sous réserve de convergence, ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4294
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R^+\) une fonction continue telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4298
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4299
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) uniformément continue telle que ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4302
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...
exo7 4303
On admet que \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Calculer les intégrales : ...
exo7 4304
Nature et calcul de \(\int_{x=0}^{+\infty} \exp\Bigl(-\bigl(x-\frac 1x\bigr)^2\Bigr)\,d x\) ?
exo7 4305
Existence de \(\int_{x=0}^{+\infty} \sin(x^4+x^2+x)\,d x\).
exo7 4306
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que ...
exo7 4307
Soient \(I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}\) et ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4310
Établir la convergence et calculer la valeur de ...
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4315
Chercher \(\lim_{x\to+\infty} \frac1{x^2} \int_{t=3}^{x^2+x} \frac{\sin t\,d t}{3+\ln(\ln t)}\).
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4319
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4320
Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4323
Soit \(I_n = \int_{t=0}^1 t^n\ln(1+t^2)\,d t\). Montrer que \(I_n \to 0\) lorsqu ...
exo7 4324
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4325
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4326
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4327
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4329
Déterminer \(\lim_{n\to\infty} \int_{x=0}^{\pi/2} \frac{\sin^nx}{x+2}\,d x\).
exo7 4330
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Déterminer ...
exo7 4331
Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...
exo7 4332
Déterminer les fonctions \(f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)\) telles que : ...
exo7 4333
On pose \(I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^nt\,d t\).
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...