Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-f), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 802
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \([0,1]\), vérifiant :
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 857
Soit \(f\in C^{1}({\Rr},\Cc),\alpha \in {\Rr}^{+*}.\) Montrer que si : ...
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Forward pass et interprétation d'un neurone sigmoïde
On considère un réseau réduit à un seul neurone sigmoïde, de paramètres \(w = 2\) et ...
Le problème du gradient vanishing
On considère un RNN simple scalaire sans entrée, pour isoler la dynamique de l’état caché : ...
Limite et continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) telle que ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Prolongement continu et dérivées partielles en l'origine
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}\) par ...