Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
c) Continuité sur un intervalle
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Continuité sur un intervalle. | |
Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un intervalle par une fonction continue. Corollaire : cas d’une fonction continue strictement monotone. | Principe de démonstration par dichotomie. |
Théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Image d’un segment par une fonction continue. | La démonstration est hors programme. |
Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 604
Montrer que \(\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[\) solution de ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6070
Existe-t-il une application continue \(f\) de \([0,1]\) dans ...
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6132
Soit \(F\) un fermé de \(\Rr\), et \(f\) une app ...
exo7 6133
Soit \(n\to r_n\) une bijection de \(\Nn\) sur ...
exo7 6153
Soit \(I=[a,b]\) et \(f : I\to\R\) dérivable ; soit ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6240
On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe ...
exo7 6243
Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...
exo7 6244
Parmi les métriques suivantes définies sur \(\Rr\), lesquelles sont uniformément équivalentes à la métrique usuell ...
exo7 6315
Soit \(f,g\) deux fonctions réelles continues sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 6321
On considère l’équation \((1)\quad x'=3x^{2/3}\) avec condition initiale ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 640
Soit \(f\) une fonction de \(\lbrack a,b \rbrack\) dans ...
exo7 641
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 642
Soit \(f:[a,b]\longrightarrow\R\) une fonction continue telle que \(f(a)=f(b)\). ...
exo7 643
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue telle que ...
exo7 644
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr^ +\) continue telle que \(f (0) = 1\), ...
exo7 645
Soient \(I\) un intervalle de \(\Rr\) et ...
exo7 646
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) continue admettant une limite finie en ...
exo7 647
Soient \(f\) et \(g\) continues sur \([0, 1]\) t ...
exo7 648
Soit \(f\) croissante sur \([a, b]\) et prenant toute valeur entre ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 657
Donner un exemple d’application \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) non constante telle que : ...
exo7 658
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue. Montrer que : ...
exo7 659
Existe-t-il une bijection continue de \([0,1[\) sur \({\Rr }\) ?
exo7 660
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue telle que \(f\circ f=f\). On note ...
exo7 661
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...
exo7 662
Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement continue ?
exo7 664
Soit \(f\in C({\Rr}^{+},{\Rr})\) admettant une limite finie en \(+\infty\), montr ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 666
Soit \((f,g)\in C([0,1],[0,1])^{2},\) tel que : \(fg=gf.\) On veut montrer que ...
exo7 667
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, telle que \(f(0)=f(1).\) Montrer que ...
exo7 668
Soit \(f\) continue de \({\Rr}\) dans \({\Rr}\), ...
exo7 669
Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 674
On admet que pour tout \(x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .\)
exo7 675
Etudier la continuité sur \(\mathbb{R}\) des fonctions suivantes :
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 679
Etudier la continuité de
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...