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Dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\), décomposer les polynômes suivan ...

Quelle est la décomposition de \(X^6+1\) en facteurs irréductibles dans ...

Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^3 = \frac 14(-1+i)\) et montrer qu’une seule ...

Soit \(n \in \Nn^*\) et \(P (X) = (X + 1)^n- (X-1)^n\).

Factoriser dans \(\Rr[X]\) :

Soit \({f} : {\R} \to {\C}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), ...

Trouver les racines cubiques de \(2-2i\) et de \(11+2i\).

Soit \(n\in \Nn^{*},P\in \Cc[X]\) de degré \(n\), avec ...

Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...

Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...

Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...

Quels sont les complexes \(z\) tels que \(\cos z \in {[-1,1]}\) ?

Soit \(z\in\C\). Montrer que \(\left(1+\frac zn\right)^n \to e^z\) lorsque ...

Soit \(z \in \C\). Montrer que \(|e^z-1| \le e^{|z|}-1 \le |z|e^{|z|}\).

Soit \(z=x+iy\in\C\) avec \(x,y\in\R\) et ...

Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on cal ...

Résoudre dans \(\C\) :

Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...

Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et ...

Soit \(P=X^4-5X^3+9X^2-15X+18\in\Cc[X]\). Déterminer toutes les racines complexes de ...

Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \[\frac{3}{X^3 + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr\] ...

Trouver les racines quatrièmes de \(81\) et de \(-81\).

[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]

Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...

Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...

Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...

Soit \(a \in \C\setminus \mathbb{U}\). Étudier la suite de terme général : ...

Calculer la somme \(S_n = 1+z+z^2+\cdots+z^n\).

Résoudre \(z^3 = 1\) et montrer que les racines s’écrivent \(1\), ...

Résoudre dans \(\Cc\) :

Résoudre l’équation \(\sqrt[4]{41+x}+\sqrt[4]{41-x}=4\), \(x\) étant un réel posi ...

Montrer que le support de la courbe paramétrée : \(\begin{cases} x = \cos t\cr y = \cos t+\sin t\cr\end{cases}\) e ...

Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib,\) \(a\in\Rr\) ...

Calculer les racines \(n\)-ièmes de \(-i\) et de ...

Montrer que \(\sum_{}^{}\cos\left(\pm a_1\pm a_2\pm...\pm a_n\right)=2^n\cos a_1\cos a_2...\cos a_n\) (la somme co ...

Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(2^{4\cos^2x+1}+16.2^{4\sin^2x-3}=20\).

Soit \(a\) un réel distinct de \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) et ...

On veut calculer \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(\sin\frac{2\pi}{5}\). Pour cela, on ...

Calculer \(I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^4x\sin^6x\;dx\) et ...

Calculer les sommes suivantes :

Résoudre le système ...

Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\cos(3x)=\sin(2x)\).

Soit \(\epsilon\) une racine \(n\)-ième de l’unité ; calculer ...

Pour \(z\neq i\), on pose \(f(z)=\frac{z+i}{z-i}\). Montrer que ...

Calculer de deux façons les racines carrées de \(1+i\) et en déduire les valeurs exactes de ...

Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :

On pose \(z=e^{2i\pi/5}\) puis \(a=z+z^4\) et ...

Soit \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) donné. Résoudre dans ...

Soit \((ABC)\) un triangle dont les longueurs des côtés \(BC\), ...