Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
c) Fonctions usuelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances. | Dérivée, variations, représentation graphique. Les fonctions puissances sont définies sur $\mathbb{R}_+^*$ et prolongées en 0 le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies sur $\mathbb{R}_-^*$. Logarithme décimal, logarithme en base 2. |
Relations $(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha$, $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta$, $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$. Croissances comparées des fonctions logarithme, puissances et exponentielle. Inégalités $\exp(x)\geqslant 1+x$, $\ln(1+x)\leqslant x$. | |
Fonctions circulaires réciproques Arcsin, Arccos, Arctan. | Dérivée, variations, représentation graphique. |
Fonctions hyperboliques sh, ch. | Dérivée, variations, représentation graphique. La fonction tangente hyperbolique et les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme. La seule formule exigible est $\operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)=1$. |
Des inégalités en tout genre
Résoudre les inégalités suivantes :
Des inégalités sympathiques
Démontrer les inégalités suivantes : ...
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1218
Trouver un équivalent simple en \(+ \infty\) de ...
exo7 1240
Faire un développement limité ou asymptotique en \(a\) à l’ordre \(n\) de :
exo7 1241
Développements limités en \(0\) de :
exo7 1250
Montrer que pour tout ...
exo7 1251
Établir pour tout \(x \in { \Rr}_+^*\) l’inégalité : ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1266
Soit \(g\) la fonction définie par : ...
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1491
Déterminer \(\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}\).
exo7 1492
Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]
exo7 1729
Soient \(n \in \Nn^*\) et \(x_1, \ldots, x_n \in ]0, + \infty[\).
exo7 2088
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 2319
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2325
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 2657
Calculer \[\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.\] Donner un équivalent de ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...
exo7 3869
Trouver toutes les fonctions \(f : {\R} \to {\R}\) continues telles que : ...
exo7 3888
Montrer que : \(\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t\).
exo7 3890
Soient \(0 < a < b\). Montrer que : ...
exo7 3891
Calculer \(\ch(a+b)\), \(\sh(a+b)\), ...
exo7 3899
Soit \(y \in \left]-\frac \pi2, \frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3903
Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.
exo7 3914
Le langage “Pascal” ne dispose pas des fonctions \(\arcsin\) et \(\arccos\). Défi ...
exo7 3915
Soient \(a,b \in \R\). Simplifier \(\arctan a + \arctan b\).
exo7 3916
Résoudre l’équation : \(\arcsin x = \arccos \frac13 - \arccos \frac14\).
exo7 3917
Soit \(x = \arcsin \frac{1+\sqrt5}4\). Calculer \(\cos 4x\) et en déduire ...
exo7 3918
Simplifier \(\arctan \frac {1-x}{1+x}\).
exo7 3919
Existe-t-il une fonction \(f : D \to \R\) telle que : ...
exo7 3920
Simplifier \(\cos(3\arctan x)\) et \(\cos^2\left(\frac 12\arctan x\right)\).
exo7 3921
Simplifier \(\arccos(\cos x) - \frac 12\arccos(\cos 2x)\) pour ...
exo7 3922
Résoudre : ...
exo7 3923
Simplifier \(\frac x2 - \arcsin\sqrt{\frac{1+\sin x}2}\) pour ...
exo7 3924
Simplifier \(\cos(\arctan(\sin(\arctan \frac1x)))\).
exo7 3925
Résoudre :
exo7 3926
Montrer que : \(4\arctan\frac 15 - \arctan \frac 1{239} = \frac \pi4\).
exo7 3927
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \arctan x + 2\arctan\bigl(\sqrt{1+x^2} - x\bigr) = \frac \pi2\).
exo7 3928
Soit \(a \in \left[0,\frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3929
Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et ...
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3931
Montrer que : \(\forall\ x\in{]-1,1[},\ |\arcsin(x)| \le \frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}\).
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).