Texte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.
- a) Normes 104
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 66
- c) Comparaison des normes 26
- d) Topologie d’un espace vectoriel normé 97
- e) Limite et continuité en un point 118
- f) Continuité sur une partie 23
- g) Espaces vectoriels normés de dimension finie 21
exo7 4521
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to {[c,d]}\) et \({g_n} : {[c,d]} \to \R\) des fonctions ...
exo7 4525
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \({[a,b]} \to {\R}\) convergeant simplement ...
exo7 4527
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to \R\) des fonctions continues convexes convergeant simplement vers une fonction continue ...
exo7 4549
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to[c,d]\) continues, bijectives, st ...
exo7 4554
On pose \(\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}\).
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4691
Soit \((u_n)\) une suite réelle. On appelle valeur d’adhérence tou ...
exo7 4699
Soit \(h\) croissante de \(\R^+\) dans \(\R^+\), ...
exo7 4716
Soit \(f : {[a,b]} \to {[a,b]}\) continue et la suite \((u_n)\) défi ...
exo7 4717
Soit \(A\) une partie bornée de \(\R\) ayant un seul point d’accumul ...
exo7 4720
Soit \(A =\{ n+p\sqrt2 \text{ tq } n,p \in \N,\ n+p\sqrt2 > 0,\ n^2-2p^2 = 1\}\). Montrer que ...
exo7 4722
Soit \((u_n)\) une suite réelle bornée telle que ...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...
exo7 4724
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que la suite \((\exp(iu_n))\) ...
exo7 4725
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4729
Soient \(U,V\) deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel normé. Montrer que ...
exo7 4730
Soient \(A,B\) deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si ...
exo7 4731
Soit \(U\) un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que ...
exo7 4732
Soit \(U\) un ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que la frontière de ...
exo7 4733
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \(E\). Po ...
exo7 4734
Soit \(A\) une partie non vide et bornée d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4735
Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\). Un point ...
exo7 4737
Soit \(E\) un evn non nul et \(\vec a,\vec a' \in E\), ...
exo7 4738
Soient \(\vec x,\vec y,\vec z\) trois vecteurs d’un evn \(E\) tels que ...
exo7 4739
Soit \(E\) un evn, et \(\vec a \in E\), ...
exo7 4740
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\) une partie non vide. Pour ...
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4742
Soient \(A,B\) deux parties compactes non vides de \(\R^n\).
Montrer qu’il ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4745
Soit \(f\) définie par \(f(x)=\frac{x}{\max(1,\|x\|)}\). Montrer que ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4747
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites d’un evn ...
exo7 4749
Soit \(B\) une matrice antisymétrique. On suppose que la suite ...
exo7 4750
Soit \((A_n)\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_p(\R)\) vérifi ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 4752
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\). On suppose que la suite de matrices : ...
exo7 4753
Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que la suite \((A^k)\) converge vers une ma ...
exo7 4755
On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles ...
exo7 4757
Montrer que \((x,y)\mapsto \sup\limits_{t\in \R} \frac{|x+ty|}{1+t+t^2}\) est une norme sur ...
exo7 4758
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k\), on pose : ...
exo7 4759
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P\in E\) on pose ...
exo7 4760
Soit \(a\in\R\). On pose pour \(P\in\R[X]\) : ...
exo7 4761
Soit \((\lambda_n)\) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur ...
exo7 4762
\(E\) est l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4764
Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...