Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition des coniques par foyer, directrice et excentricité. | Obtention d’une équation cartésienne réduite à partir de la définition géométrique. |
Classification des coniques en fonction de l’excentricité, à partir d’une équation réduite. | Les formules de calcul des éléments géométriques ne sont pas exigibles des étudiants et doivent être fournies au besoin. |
Axes et centre de symétrie. Grand axe et petit axe d’une ellipse. Asymptotes d’une hyperbole. | Détermination de ces éléments géométriques à partir d’une équation réduite. |
Une équation du type $ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$, où $(a,b,c) \neq (0,0,0)$, définit une conique, éventuellement dégénérée. | Réduction de la matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ pour obtenir une équation réduite dans un repère orthonormé. Interprétation géométrique des droites propres. L’équation $xy = k$ définit une hyperbole dont les asymptotes sont les axes du repère. |
Paramétrage des ellipses et des hyperboles à partir de leur centre, respectivement par les fonctions trigonométriques et hyperboliques. | Dans le cas de l’hyperbole, les deux branches sont paramétrées séparément. |
exo7 1925
Calculer les coordonnées du centre d’inertie (de gravité) du domaine \(D\) :
exo7 2065
Soit \(\mathcal{E}\) une ellipse de foyers \(F\) et ...
exo7 2066
Soit \(\mathcal{P}\) une parabole de foyer \(F\), de directrice ...
exo7 2067
Déterminer l’ensemble des points d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales à une parabole.
exo7 2068
Soit \(\mathcal{E} = \left\{ M (z)/2\left| z\right|^2-\frac i2 (z^2-\bar{z}^2) = 1\right\}\), ...
exo7 2069
\(13x^2 -32xy + 37y^2-2x + 14y-5 = 0\)
exo7 2070
Déterminer astucieusement le sommet et l’axe de la parabole \(x (t) = t^2 + t + 1\) et ...
exo7 2071
Montrer que la courbe paramétrée \(x (t) =\dfrac 1{ t^2 + t + 1}\) et ...
exo7 2695
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2=2px, p>0\).
exo7 2699
Dans le plan euclidien \(\R^2\), donner des équations paramétriques pour une droite ; un cercle ; une ellipse ; un ...
exo7 2712
Étudier en fonction des paramètres \(a, b >0\) les courbes d’équation ...
exo7 4388
Soit \(\cal E\) l’ellipse d’équation \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ( ...
exo7 4395
Calculer l’aire délimitée par la courbe d’équation \((y-x)^2 = a^2-x^2\).
exo7 4900
Déterminer la nature et les éléments de la courbe d’équation dans un repère \((O,\vec i,\vec j)\) orthonormé :
exo7 4901
Montrer que le support de la courbe paramétrée : \(\begin{cases} x = \cos t\cr y = \cos t+\sin t\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4902
Soit \(\cal C\) une conique de foyer \(F\), directrice ...
exo7 4904
Soit \({\cal C}\) un cercle de centre \(O\), et ...
exo7 4905
On donne un cercle \({\cal C}\) de centre \(O\) et ...
exo7 4906
Soit \(F\) un point, \(D\) une droite ne passant pas par ...
exo7 4907
Soient \(D\) une droite et \(F \in D\).
Montrer que pour tout point ...
exo7 4908
Soit \(\cal P\) une parabole de paramètre \(p\) et ...
exo7 4910
Soit \({\cal P}\) la parabole d’équation \(y^2 = 2px\) et ...
exo7 4911
Pour \(p>0\) on donne la courbe \(\Gamma\) d’équation ...
exo7 4912
Soit \({\cal E}\) une ellipse de foyers \(F,F'\), de centre ...
exo7 4913
Soient \({\cal E} : \frac {x^2}{4a^2} + \frac {y^2}{4b^2} = 1\), et ...
exo7 4914
Soient \(P\) un point mobile sur \(Ox\), et ...
exo7 4915
Soit \({\cal E}\) une ellipse de foyer \(F\), directrice ...
exo7 4917
Soit \({\cal E}\) une ellipse de sommets \(A,A'\), et ...
exo7 4918
Soient \(F\) un point, \(D\) une droite ne passant pas par ...
exo7 4919
Soit \({\cal H}\) une hyperbole équilatère de dimension \(a\). On se place dans u ...
exo7 4920
Soit \({\cal H}\) une hyperbole de sommets \(A,A'\), et ...
exo7 4921
Soient \(A,F\) deux points distincts, \(D\) leur médiatrice, ...
exo7 4922
Soient \(O,A\) deux points distincts du plan. Trouver les points \(M\) tels que ...
exo7 4923
Soient \(A,A'\) deux points distincts et \({\cal C}\) le cercle de diamètre ...
exo7 4924
Soit \(\cal H\) une hyperbole équilatère et \(ABC\) un triangle dont les sommets ...
exo7 4928
Soit \({\cal E}\) l’ellipse d’équations : ...
exo7 4932
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations : ...
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4934
Équation d’un cône
Déterminer les réels \(\lambda\) tels que la surface d’équation : ...
exo7 4937
Soient \(D,D'\) deux droites non coplanaires et \({\cal S}\) l’ensemble des p ...
exo7 4939
Dans l’espace, on considère un point \(F\), une droite \(D\) ne passant pas par ...
exo7 4941
Dans l’espace, soit \(P\) le plan d’équation \(z=0\) et ...
exo7 5010
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 5013
Soient \(M\), \(M'\) deux points d’une parabole ...
exo7 5014
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2 = 2px\).
exo7 5016
Soit \(\cal H\) une hyperbole de foyer \(F\). Trouver l’enveloppe des cordes ...
exo7 5525
La courbe orthoptique d’une courbe \((\mathcal{C})\) est le lieu des points du plan d’où l’on peut mener (au moins ...
exo7 5540
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\). Eléménts ca ...
exo7 5541
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=\left(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\). ...
exo7 5542
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\). Nature et é ...