Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
d) Trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus. | |
Relation de congruence modulo $2\pi$ sur $\mathbb{R}$. | Notation $a\equiv b\ [2\pi]$. |
Cosinus et sinus de $\pi\pm x$, de $\frac{\pi}{2}\pm x$. Cosinus et sinus des angles usuels. | Les étudiants doivent savoir retrouver ces résultats et résoudre des équations et inéquations trigonométriques simples en s’aidant du cercle trigonométrique. |
Formules d’addition $\cos(a\pm b)$, $\sin(a\pm b)$. Cas particulier des formules de duplication : $\cos(2a)$, $\sin(2a)$. | On présente une justification géométrique de l’une de ces formules. Les étudiants doivent savoir retrouver rapidement les formules donnant $\cos(a)\cos(b)$, $\cos(a)\sin(b)$, $\sin(a)\sin(b)$. |
Fonctions circulaires cosinus et sinus. | On justifie les formules donnant les fonctions dérivées de sinus et cosinus vues en classe de terminale. |
Pour $x\in\mathbb{R}$, inégalité $\lvert\sin(x)\rvert\leqslant\lvert x\rvert$. | |
Fonction tangente. | Notation tan. Dérivée, variations, représentation graphique. |
Tangente de $\pi\pm x$. Tangente des angles usuels. Formule d’addition $\tan(a\pm b)$. | Interprétation sur le cercle trigonométrique. |
exo7 3926
Montrer que : \(4\arctan\frac 15 - \arctan \frac 1{239} = \frac \pi4\).
exo7 3927
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \arctan x + 2\arctan\bigl(\sqrt{1+x^2} - x\bigr) = \frac \pi2\).
exo7 3928
Soit \(a \in \left[0,\frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3964
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de la fonction \(x \mapsto \cos^3 x\). ...
exo7 3992
Soit \(n \ge 3\) et \(A_1A_2\dots A_n\) un polygone convexe à ...
exo7 4010
Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :
...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...
exo7 44
Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...
exo7 4409
Résoudre dans \(\C\) :
exo7 4436
Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...
exo7 4528
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 4628
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).
exo7 4677
Soit \(\theta \in \R\). Montrer que si ...
exo7 4897
Soit \(ABC\) un triangle. On note : \(a = BC\), ...
exo7 4898
Soit \(ABC\) un triangle. On note : \(a = BC\), ...
exo7 4899
Soit \(ABC\) un triangle. On note : ...
exo7 4901
Montrer que le support de la courbe paramétrée : \(\begin{cases} x = \cos t\cr y = \cos t+\sin t\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4913
Soient \({\cal E} : \frac {x^2}{4a^2} + \frac {y^2}{4b^2} = 1\), et ...
exo7 4922
Soient \(O,A\) deux points distincts du plan. Trouver les points \(M\) tels que ...
exo7 4955
Soit \(ABC\) un triangle d’angles \(\alpha,\beta,\gamma\).
On note ...
exo7 4972
Soient \(P\) un plan, \(D\) une droite tels que ...
exo7 4973
Quel est l’angle entre deux faces d’un dodécaèdre régulier ? (on donne : \(4\sin\frac\pi5 = \sqrt{10-2\sqrt5}\)) ...
exo7 5009
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle : \(x^2+y^2=1\). Soit ...
exo7 5063
Résoudre dans \(\Rr\) puis dans \([0,2\pi]\) les équations suivantes :
exo7 5064
Résoudre dans \(\Rr\) puis dans \([0,2\pi]\) les équations suivantes :
exo7 5065
Résoudre dans \(\Rr\) puis dans \(I\) les équations suivantes :
exo7 5066
Résoudre dans \(I\) les inéquations suivantes :
exo7 5067
Calculer \(\cos\frac{\pi}{8}\) et \(\sin\frac{\pi}{8}\).
exo7 5068
Calculer \(\cos\frac{\pi}{12}\) et \(\sin\frac{\pi}{12}\).
exo7 5071
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(2^{4\cos^2x+1}+16.2^{4\sin^2x-3}=20\).
exo7 5072
Soit \(a\) un réel distinct de \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) et ...
exo7 5073
On veut calculer \(S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ\).
exo7 5074
Combien l’équation \[\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0,\] possède-t-elle de solutions dans ...
exo7 5076
Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
exo7 5078
Démontrer les identités suivantes, en précisant à chaque fois leur domaine de validité :
exo7 5082
Montrer que \(\cos^4\frac{\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^4\frac{7\pi}{8}=\frac{3}{2}\). ...
exo7 5083
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\cos(3x)=\sin(2x)\).
exo7 5088
Simplifier les expressions suivantes :
exo7 5089
Calculer \(\Arctan\frac{1}{2}+\Arctan\frac{1}{5}+\Arctan\frac{1}{8}\).
exo7 5090
Calculer \(u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}\) pour ...
exo7 5143
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5145
(*) Calculer \(\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 5163
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;\forall x\in\Rr,\;|\sin(nx)|\leq n|\sin x|\).
exo7 5241
Montrer que, pour \(n\geq2\),
...
exo7 5458
Montrer que \(\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})\).
exo7 5467
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...
exo7 5517
Angle des plans \(x+2y+2z=3\) et \(x+y=0\).