Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Calcul matriciel et systèmes linéaires
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Le but de cette section est de présenter une initiation au calcul matriciel. Ainsi, on prépare l’étude géométrique de l’algèbre linéaire menée au second semestre, on revient sur l’étude des systèmes linéaires.
Dans cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Opérations sur les matrices 111
- b) Opérations élémentaires 15
- c) Systèmes linéaires 89
- d) Ensemble des matrices carrées 255
exo7 2773
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 2774
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(A\) la matri ...
exo7 2776
On désigne par \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3070
On donne \(u_0,v_0\). Résoudre le système : ...
exo7 3361
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Q)\). Comparer les énoncés :
1: ...
exo7 3362
On note ...
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3384
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). On dit que \(A\) est positive si tous ses c ...
exo7 3388
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que \(M \in GL_n(\Z)\) si et seulement ...
exo7 3392
Que dire des morphismes de groupe \(\varphi : {GL_n(\R)} \to {\Z/p\Z}\) ?
exo7 3393
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 2&3&4\cr 3&4&5 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3394
Soient \(A = \begin{pmatrix}-2&1&1 \cr 8&1&-5 \cr 4&3&-3 \cr\end{pmatrix}\) et ...
exo7 3397
Calculer \(A^k\) pour \(k \in \N\) :
exo7 3398
Inverser les matrices suivantes :
exo7 3399
Soient ...
exo7 3408
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3409
Étudier l’existence de solutions du système :
...
exo7 3410
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3411
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3412
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3413
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3414
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3415
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3416
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3417
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3418
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3425
Résoudre le système : ...
exo7 3426
Soient \(A \in \mathcal{M}_{p,q}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,p}(K)\). Montrer ...
exo7 3427
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(A' = ((-1)^{i+j}a_{ij})\). Co ...
exo7 3428
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre \(n\), et ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3435
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...
exo7 3439
Soient \(u,n \in \mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes d’un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3441
On note \(SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}\).
exo7 3442
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3445
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) telle qu’il existe \(a \ne 0\) tel que ...
exo7 3446
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire de \(n\) équations à ...
exo7 3450
Soit \(M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)\) et \(q\in[[1,\min(n,p)]]\).
Pour ...
exo7 3451
Calculer les déterminants suivants :
exo7 3452
Déterminer les cas d’annulation des déterminants suivants, puis les calculer :
exo7 3453
Soient \({a,b,c,d} : \R \to \R\) des fonctions dérivables et ...
exo7 3454
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3455
Soit \(n\in\N^*\), \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\in{(\R^*_+)}^n\), ...