Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Listes et combinaisons
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Nombre de $p$-listes (ou $p$-uplets) d’éléments distincts d’un ensemble de cardinal $n$, nombre de permutations d’un ensemble de cardinal $n$. | Nombre d’applications injectives d’un ensemble de cardinal $p$ dans un ensemble de cardinal $n$. |
Nombre de parties à $p$ éléments (ou $p$-combinaisons) d’un ensemble de cardinal $n$. | Démonstration combinatoire des formules de Pascal et du binôme. |
exo7 2105
Soit \(n\) et \(p\) deux entiers, \(p\leq n\). D ...
exo7 221
Démontrer que \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p\) (pour \(0\le k \le p \le n\)). En ...
exo7 223
Démontrer que \(C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\) pour \(1\le p \le n-1\).
exo7 230
Démontrer les formules suivantes :
exo7 231
Soient \(E\) un ensemble non vide et \(X ,Y\) une partition de ...
exo7 232
Soit \(E\) un ensemble, \(a \in E\) et ...
exo7 237
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments, et ...
exo7 238
Déterminer le nombre de mots distincts que l’on peut former avec \(6\) voyelles et ...
exo7 239
On considère les mains de \(5\) cartes que l’on peut extraire d’un jeu de \(52\) ...
exo7 240
Soient \(A,A' ,B ,B'\) quatre ensembles tels que : ...
exo7 242
Soient \(1 \leq k \leq n\). Déterminer le nombre de \(k\)-uplets ...
exo7 245
Soit \(p_{n}(k)\) le nombre de permutations de \(\{1,...,n\}\) ayant ...
exo7 246
Soit \(E\) un ensemble de cardinal \(nm\in \Nn^{*}\), où ...
exo7 247
L’histoire: \(n\) personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas f ...
exo7 2667
Soit \(n\in\N^*\). Calculer la somme des nombres d’inversions de toutes les permutations de ...
exo7 2903
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\). Calculer ...
exo7 2905
Soient \(n,p \in \N\). On note \(\Gamma_n^p\) le nombre de ...
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 2912
Combien y a-t-il de bijections \(f\) de \(\{1,\dots,12\}\) dans lui-mê ...
exo7 2913
On doit placer autour d’une table ronde un groupe de \(2n\) personnes, \(n\) homm ...
exo7 2918
Quel est le nombre de parties à \(p\) éléments de ...
exo7 2919
Soit \(R_n\) le nombre de relations d’équivalence sur un ensemble à ...
exo7 3079
Soit \(\sigma \in S_n\). On appelle orbite de \(\sigma\) to ...
exo7 3089
Combien y a-t-il de permutations de \({\cal S}_{26}\) comportant trois points fixes, deux 3-cycles, un 5-cycle, et ...
exo7 3192
Soit \(P\in\R[X]\). Montrer :
(\(\forall\ x\ge 0,\ P(x) > 0\)) ...
exo7 5278
(***) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité \(\sum_{}^{}C_n^{2k}=\sum_{}^{}C_n^{2k+1}\) ou encore d ...
exo7 5279
Combien y a-t-il de partitions d’un ensemble à \(pq\) éléments en \(p\) classes a ...
exo7 5280
Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers \(x_i\geq0\) de l’équation ...
exo7 5282
Quelle est la probabilité \(p_n\) pour que dans un groupe de \(n\) personnes choi ...
exo7 5284
On part du point de coordonnées \((0,0)\) pour rejoindre le point de coordonnées ...
exo7 5287
Combien y a-t-il de surjections de \(\{1,...,n+1\}\) sur \(\{1,...,n\}\) ?
exo7 5288
Soit \((P)\) un polygone convexe à \(n\) sommets. Combien ce polygone a-t-il de d ...
exo7 5290
Soit \(P_n^k\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments en ...
exo7 766
Exprimer \(\ch^n x\) et \(\sh^n x\) au moyen de ...
Factorielles
Les questions suivantes sont indépendantes :
Gain au loto
Le loto est un jeu consistant à choisir six numéros différents compris entre 1 et 49. Au dernier tirage, il fallait jouer les numéros: ...