Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
c) Produit mixte dans le plan orienté
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition géométrique : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, alors $[\vec{u},\vec{v}]=\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert\sin\big(\vec{u},\vec{v}\big)$ et $[\vec{u},\vec{v}]=0$ sinon. | Interprétation en terme d’aire orientée d’un parallélogramme. La notion d’orientation du plan est admise. |
Bilinéarité, antisymétrie. Expression dans une base orthonormée directe. Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 1957
Les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de ...
exo7 1962
Dans le triangle \(ABC\), on considère trois points \(P, Q, R\), sur les côtés ...
exo7 1964
Dans le triangle \(ABC\), on considère trois points \(P, Q, R\), sur les droites ...
exo7 1993
On considère les trois points de \(P\) : \(A(2,-3)\), ...
exo7 1997
On considère dans le plan les deux droites
\((D : 3x + y = 5)\) et
...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 4890
Soit \(ABC\) un triangle et trois points \(P \in (AB)\), ...
exo7 4893
Soit un triangle \(ABC\), \(A',B',C'\), les milieux des côtés, et ...
exo7 4953
Soient \(D,D'\) deux droites distinctes sécantes en \(O\).
On note ...
exo7 4972
Soient \(P\) un plan, \(D\) une droite tels que ...
exo7 5196
On donne les points \(A(1,2)\), \(B(-2,1)\) et ...
exo7 5206
Montrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets appartiennent aux points d’intersection des lignes d’une feuille blanche quadri ...
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 7053
On donne deux points \(O\) et \(I\), avec ...
exo7 7065
Un quadrilatère est dit orthodiagonal si ses diagonales sont perpendiculaires.
Soit \(ABCD\) un qu ...
exo7 7086
Soit \(ABC\) un triangle. On note \(G\), ...
exo7 7102
On se donne un carré, et on cherche à construire un carré de même centre, aux côtés parallèles, et d’aire deux fois plus petite, comme ci-dessous: ...
exo7 7104
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7108
Soit \(BOA\) un triangle indirect quelconque, \(OAC\) et ...
exo7 7115
Soit \(ABC\) un triangle direct non isocèle rectangle. Soient \(ARB\), ...
exo7 7119
On donne un segment \([AB]\) et un réel \(\alpha \in ]-\pi,\pi[\). On suppose que ...
exo7 7120
Construire un octogone convexe régulier dont un des côtés est un segment \([AB]\) donné.
exo7 7122
Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les cotés opposés sont deux à deux de même longueur. Soit ...
exo7 7123
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles sécants en ...
exo7 7129
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles se coupant en ...
exo7 7130
On donne deux segments \([AB]\) et \([CD]\) non parallèles et de longueur différe ...
exo7 7152
Soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(1\), et soient ...
exo7 7153
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et non isocèle. La médiatrice de ...
exo7 7156
Soient \(M\), \(M_1\), \(M_2\), ...
exo7 7165
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct, et \(P\) un point n’appartenant pas ...
exo7 7167
Soient \(AOB\) et \(COD\) deux triangles directs, isocèles rectangles en ...
exo7 7168
Soit \(ABC\) un triangle non isocèle en \(A\). La bissectrice intérieure ...
exo7 7250
Un diagramme de Voronoï est une famille de parties du plan (ou de l’espace, mais dans cet exercice on se limitera au plan) et de points as ...
exo7 7252
Que dire de la frontière entre deux cellules de Voronoï ?
exo7 7271
Une translation transforme-t-elle une droite en une droite qui lui est parallèle ?
exo7 7287
On considère quatre points distincts \(A\), ...
exo7 7288
La notion de «construction au compas» est un peu ambiguë. On distingue:
le compas traçant, qui permet, à partir de deux po ...
exo7 7449
Dans le plan euclidien orienté \(\mathcal{P}\), on considère deux demi-droites ...
exo7 7465
Soit \(d\) une droite. Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et ...
exo7 7503
On considère dans le plan euclidien orienté un point \(A\) et la rotation \(r\) d ...
exo7 7507
Démontrer que si \(A, B, C\) sont trois points distincts d’un plan affine euclidien ...