Parcourir les exercices

Mettre sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) les nombres : ...

On définit une fonction \(f\) de \(\mathbb C-\{i\}\) dans ...

Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb C\) dans ...

Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : \(\Leftrightarrow ,\ \Leftarrow,\ \Rightarrow.\) ...

Calculer le module et l’argument de \(u = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\) et ...

Déterminer le module et l’argument de \(\frac{1+i}{1-i}\). Calculer ...

Écrire les nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) : ...

On appelle demi-plan de Poincaré l’ensemble \(\mathcal{P}\) des nombres complexes ...

Dans \(\Cc\) on définit la relation \(\mathcal{R}\) par : ...

Soit \(\sqrt{d}\) non rationel. Dans l’anneau ...

Montrer que si \(\left|z\right| \leq k <1\) alors ...

Soit \(A = (a_{i,j})\) une matrice complexe dont les coefficients vérifient ...

Montrer algébriquement et géométriquement que si \(\left|z\right| = 1\) alors ...

Montrer que si \(r\) et \(s\) sont deux nombres entiers naturels somme de deux ca ...

Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...

On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...

Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...

Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v| + |u-v| \ge |u| + |v|\), et dé ...

Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe : \(az + \overline{az} = b\) avec ...

Soient \(a,b \in \mathbb{U}\) distincts et \(z \in \C\). On note ...

Déterminer les nombres \(z \in \C\) tels que \(\dots\)

Soient \(u,v,w\) trois complexes unitaires tels que \(u+v+w = 0\). Montrer que ...

Trouver les complexes \(z \in \C^*\) tels que \(\left|z + \frac 1z\right| = 2\). ...

Soient \(a,b,c,d \in \C\) deux à deux distincts. Montrer que si deux des rapports ...

Soient \(a,b,c \in \C\), affixes de points \(A,B,C\) non alignés. Ca ...

Soient \(u,v \in \C\) tels que \(u+v \ne 0\). On pose ...

Résoudre :

Soient \(n,p \in \N^*\) et \(\mathbb{U}_n\) le groupe des racines ...

Soient \(n \in \N^*\), \(\omega = e^{2i\pi/n}\) et ...

Soit \(z \in \C\) et \(p,q\) ses racines carrées. A quelle condition ...

Soient \(u,v \in \C\). Vérifier que ...

Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2\).

Montrer que les solutions de \(az^2+bz+c=0\) avec \(a\), ...

Soient \(A,B,C\) les points dont les affixes sont les racines de \(X^3 + pX + q\) ...

Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...

Pour quelles valeurs de \(z\in\Cc\) a-t-on \(\vert 1+iz\vert=\vert 1-iz\vert.\) ...

Soit \(P\) un polynôme de \({\R}[X]\) tel que ...

Soit \(z \in \C\). Montrer que \(|e^z-1| \le e^{|z|}-1 \le |z|e^{|z|}\).

Soit \(z=x+iy\in\C\) avec \(x,y\in\R\) et ...

Soit \(a \in \C\setminus \mathbb{U}\). Étudier la suite de terme général : ...

Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib,\) \(a\in\Rr\) ...

Résoudre le système ...

Pour \(z\neq i\), on pose \(f(z)=\frac{z+i}{z-i}\). Montrer que ...

Soit \((ABC)\) un triangle dont les longueurs des côtés \(BC\), ...

Déterminer les complexes \(z\) tels que \(z\), ...

Montrer que les solutions de l’équation \(1+z+z^2+...+z^{n-1}-nz^n=0\) sont de module inférieur ou égal à ...

Pour \(z\in\Cc\setminus\{1\}\), on pose \(Z=\frac{1+z}{1-z}\). Déterminer et cons ...

Pour \(z\in\Cc\), on pose \(\ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\), ...

Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...

Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \(z^n=\overline{z}\) où ...