Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
a) Propriété de la borne supérieure
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie de $\mathbb{R}$. | Notations $\sup X$, $\inf X$. |
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure (resp. inférieure). Une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si pour tous $a$, $b\in X$ tels que $a\leqslant b$, $[a,b]\subset X$. | On convient que $\sup X=+\infty$ si $X$ est non majorée. |
exo7 478
Donner la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de l’ensemble: ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 481
Si \(a= \sup A\), montrer qu’il existe une suite d’éléments de \(A\) qui converge ...
exo7 482
Soit \(A= \mathbb{Q}\cap\mathopen]0,1 \mathclose[\) et \(a,b\in\mathbb{R}_+\). On ...
exo7 4820
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 4826
Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de ...
exo7 483
Soit \(A\) l’ensemble des nombres réels qui peuvent s’écrire ...
exo7 484
Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite bornée. On pose ...
exo7 486
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides bornées de ...
exo7 500
Soit \(A\) une partie de \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 517
Soit \(A\) une partie bornée de \(\Rr\) et \(x\) ...
exo7 5210
Soient \(A\) et \(B\) deux parties de ...
exo7 5211
Soit \(A=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n,\;n\in\Nn^*\right\}\). Déterminer ...
exo7 5212
Soit \(A\) une partie non vide et bornée de \(\Rr\). Montrer que ...
exo7 5213
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides et majorées de ...
exo7 5249
Calculer \(\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))\).
exo7 5847
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\).
...exo7 5850
Calculer \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}\). ...
exo7 5854
On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...
exo7 5858
Déterminer ...
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
Sur la somme de deux ensembles
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de ...