Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
exo7 3879
Soit \(f : {\R} \to {\R.}\) On dit que \(f\) est localement croissante si : ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3881
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue telle que \(f_{|\Q}\) est strictement croissa ...
exo7 3882
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) non identiquement nulle telle que : ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3887
On pose ...
exo7 3888
Montrer que : \(\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t\).
exo7 3889
Soient \(0 < a < b\). Montrer que la fonction ...
exo7 3890
Soient \(0 < a < b\). Montrer que : ...
exo7 3891
Calculer \(\ch(a+b)\), \(\sh(a+b)\), ...
exo7 3894
Soit \(a \in \R\). Résoudre : \(\sh a + \sh(a+x) + \sh(a+2x) + \sh(a+3x) = 0\). ...
exo7 3898
Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...
exo7 3899
Soit \(y \in \left]-\frac \pi2, \frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3902
Déterminer des primitives des fonctions suivantes :
exo7 3903
Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.
exo7 3904
Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...
exo7 3914
Le langage “Pascal” ne dispose pas des fonctions \(\arcsin\) et \(\arccos\). Défi ...
exo7 3915
Soient \(a,b \in \R\). Simplifier \(\arctan a + \arctan b\).
exo7 3916
Résoudre l’équation : \(\arcsin x = \arccos \frac13 - \arccos \frac14\).
exo7 3917
Soit \(x = \arcsin \frac{1+\sqrt5}4\). Calculer \(\cos 4x\) et en déduire ...
exo7 3918
Simplifier \(\arctan \frac {1-x}{1+x}\).
exo7 3919
Existe-t-il une fonction \(f : D \to \R\) telle que : ...
exo7 3920
Simplifier \(\cos(3\arctan x)\) et \(\cos^2\left(\frac 12\arctan x\right)\).
exo7 3921
Simplifier \(\arccos(\cos x) - \frac 12\arccos(\cos 2x)\) pour ...
exo7 3922
Résoudre : ...
exo7 3923
Simplifier \(\frac x2 - \arcsin\sqrt{\frac{1+\sin x}2}\) pour ...
exo7 3924
Simplifier \(\cos(\arctan(\sin(\arctan \frac1x)))\).
exo7 3925
Résoudre :
exo7 3926
Montrer que : \(4\arctan\frac 15 - \arctan \frac 1{239} = \frac \pi4\).
exo7 3927
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \arctan x + 2\arctan\bigl(\sqrt{1+x^2} - x\bigr) = \frac \pi2\).
exo7 3928
Soit \(a \in \left[0,\frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3929
Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et ...
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3931
Montrer que : \(\forall\ x\in{]-1,1[},\ |\arcsin(x)| \le \frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}}\).
exo7 3933
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable.
exo7 3934
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que la fonction ...
exo7 3940
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3941
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable.
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).
exo7 3954
Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...
exo7 3959
Trouver toutes les applications \(f:\R \to \R\) dérivables telles que : ...
exo7 3960
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) dérivable telle que \(f\circ f = f\). Montrer q ...
exo7 3963
Montrer que : \(\forall\ x \ge -1,\ \ln(1+x) \le x\).
exo7 3964
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de la fonction \(x \mapsto \cos^3 x\). ...
exo7 3965
Établir une formule de récurrence pour les dérivées successives des fonctions :
\(f : x \mapsto \arctan x\) ...
exo7 3966
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto (x^3+2x^2-5)e^{-x}\).
exo7 3967
Soit \(f(x) = e^{x\sqrt3}\sin x\). Calculer \(f^{(n)}(x)\) pour ...
exo7 3968
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto x^n(1-x)^n\). En déduire la ...
exo7 3969
Calculer \(\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)\), et ...