Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
b) Équations différentielles linéaires du premier ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Équation différentielle linéaire du premier ordre $y'+a(x)y=b(x)$ où $a$ et $b$ sont des fonctions réelles ou complexes définies et continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Ensemble des solutions de l’équation homogène. Principe de superposition. Description de l’ensemble des solutions de l’équation à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène associée. Méthode de la variation de la constante. Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. | Équation homogène associée. Cas particulier où la fonction $a$ est constante. |
exo7 1847
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : \[x\frac{\partial f}{\partial y}-y\frac{\partial f}{\partial x}=f\] ...
exo7 1856
Déterminer les fonctions \(f\in {\cal C}^1(\R^2,\R)\) vérifiant ...
exo7 2557
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est rélle de variable réelle, décrire les solutions en précisan ...
exo7 2559
On considère l’équation différentielle \(x'=|x|+|t|\).
exo7 2560
Soit \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) donnée par ...
exo7 2561
Soit l’équation différentielle \[x'''-xx''=0\] où \(x\) est ...
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 4060
Résoudre l’équation : \(y' = |x-y|\). Étudier les problèmes de raccordement.
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4064
\(x,y,z\) sont des fonctions de \(t\). Résoudre les systèmes :
exo7 4065
Résoudre le système différentiel suivant : ...
exo7 4069
On considère l’équation différentielle : \((*) \iff y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0\).
exo7 4070
Soit \(E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)\) et \(\Phi : E \to E\), définie par ...
exo7 4073
Trouver les applications \(g : {\R^+} \to {\R^+}\) continues vérifiant pour tout ...
exo7 4074
Soient \({a,b} : \R \to \R\) continues, et \(y,z\) solutions de ...
exo7 4075
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' = a(x)y + b(x)\) et \(x_0\) un réel ...
exo7 4076
Soit \(\lambda \in \C\) et \(\varphi : \R \to \C\) ...
exo7 4077
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' + a(x)y = b(x)\) où \(a,b\) sont des ...
exo7 4079
Soit \(k\in\R^*\) fixé. On considère : ...
exo7 4081
Soit \(f\) continue et intégrable sur \(\R\). On considère l’équation différentie ...
exo7 4082
Trouver les fonctions \(f,g\) continues vérifiant : ...
exo7 4092
Soit \({a,b} : \R \to \R\) continues telles que : \(\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1\) ...
exo7 4096
Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur ...
exo7 4103
On pose \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}e^{itx} \frac {d t}{\sqrt t}\). Former une équation différentielle sa ...
exo7 4106
On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur \(\R\) : ...
exo7 4108
Soit une application \(A\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4110
\(y' = y(1+y)\).
exo7 4111
\(y-xy' = \sqrt{x^2+y^2}\).
exo7 4112
\(xy'+y = xy^3\).
exo7 4113
\(x^2(y'+y^2) = xy-1\).
exo7 4114
\((x^2-y^2-1)y' = 2xy\) : poser \(z = \frac{y}{x^2+y^2-1}\).
exo7 4116
Résoudre numériquement le système ...
exo7 4117
\(y'' = \sin y\), \(y(0) = \frac\pi2\), ...
exo7 4122
On considère l’équationn différentielle \((E) : x'=x^{2}-t\) et l’ensem ...
exo7 4129
On suppose que \(f\) est bornée par \(M\) et ...
exo7 4156
Déterminer les fonctions \(f : {\R^{+*}\times \R^{+*}} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4159
Problème d’ajustement linéaire : Etant donné \(n\) couples de réels ...
exo7 4201
Résoudre l’équation \(2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f\) avec la con ...
exo7 4202
Déterminer les applications \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4597
Montrer que l’équation \(3xy' + (2-5x)y = x\) admet une solution développable en série entière autour de ...
exo7 4605
On note \(\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}\) et ...
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4995
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4998
\[
\]
Trouver les courbes ...
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5476
Résoudre sur l’intervalle \(I\) de \(\Rr\) proposé les équations différentielles ...
exo7 5477
Résoudre l’équation différentielle \((1-x^2)y'-2xy=x^2\) sur chacun des intervalles ...