Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
c) Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants $y''+ay'+by=f(x)$ où $a$ et $b$ sont des scalaires et $f$ est une fonction réelle ou complexe, définie et continue sur un intervalle. | Équation homogène associée. |
Ensemble des solutions de l’équation homogène. Principe de superposition. | Si $a$ et $b$ sont réels, description des solutions réelles. |
Description de l’ensemble des solutions de l’équation à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène associée. | Les étudiants doivent savoir déterminer une solution particulière dans le cas d’un second membre polynôme, de la forme $x\mapsto A\mathrm{e}^{\lambda x}$ avec $(A,\lambda)\in\mathbb{C}^2$, $x\mapsto B\cos(\omega x)$ et $x\mapsto B\sin(\omega x)$ avec $(B,\omega)\in\mathbb{R}^2$. |
Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. | La démonstration de ce résultat est hors programme. |
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Résoudre sur \(]0;\pi[\) l’équation différentielle ...
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Résoudre les équations différentielles suivantes à l’aide du changement de variable suggéré.
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Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
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Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
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On considère l’équation homogène \((E) \ \ ay''+by'+cy=0\), avec ...
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Résoudre l’équation : \[y^{\prime\prime} +k^2y = \cos{mx}, \quad k,m \in \R.\] On discutera suivant les valeurs d ...
exo7 863
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- 3y^\prime + 2 y = e^x.\]
exo7 864
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x.\]
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Résoudre l’équation suivante : \[4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x e^{-x/2} .\]
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 867
Soit \(m \in \R\). Déterminer la solution de l’équation : ...
exo7 868
On considère l’équation différentielle : \[y''+6y'+9y=d(x) \quad (E)\]
exo7 869
Déterminer une équation différentielle vérifiée par la famille de fonctions ...
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Déterminer une équation différentielle admettant \((r-2)^2=0\) comme équation caractéristique et ...
exo7 871
Déterminer l’ensemble des solutions réelles des équations :
a) \(y^{\prime\prime}+ y^\prime -6y=e^{3x}\),
b) ...
exo7 872
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E.D.) \quad y''-4y'+4y = d(x),\] où ...
exo7 873
Résoudre sur \(\Rr\) :
exo7 874
Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 875
Résoudre sur \(]0, + \infty[\) \(xy''-y'-x^3y = 0\) en posant ...
exo7 876
Résoudre en posant \(z (t) = y (e^t)\) ou \(y (-e^t)\) suivant le signe de ...
exo7 877
Résoudre l’équation différentielle de Bernouilli \(x^2y^2-xy'-3y = 0\) en supposant que ...
exo7 878
Résoudre sur \({\Rr }\) : ...
exo7 880
Résoudre : \(y''(x)+2y^{\prime }(x)+y(x)=2x\cos x\cosh x\).
exo7 881
Déterminer les \(f\in C^{2}({\Rr},{\Rr})\) telles que : ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
exo7 883
Montrer que toute solution de \(y''(x)e^{-x^{2}}+y(x)=0\) est bornée sur ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
exo7 885
Résoudre par le changement de fonction \(z=\frac{y}{x}\) l’équation différentielle : ...
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Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
Équation différentielle du second ordre et intégrale double
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.