Une usine fabrique des capteurs de température et d’humidité destinés à des stations météorologiques. Chaque capteur est composé de deux modules indépendants :
un module T (température) dont la durée de vie X (en années) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda_T = 0,2\),
un module H (humidité) dont la durée de vie Y (en années) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda_H = 0,1\).
Les deux modules sont montés ensemble dans chaque capteur et fonctionnent tant que les deux modules sont opérationnels. On note \(Z = \min(X, Y)\) la durée de vie du capteur complet.
Déterminer la fonction de répartition de \(Z\).
En déduire la loi de \(Z\).
Le service après-vente propose, pour les capteurs tombés en panne :
un remplacement gratuit si la panne survient avant 3 ans (\(Z < 3\)),
sinon (\(Z \ge 3\)), il propose :
un tarif réduit à 50 euros si c’est le module T qui est tombé en panne en premier (c’est-à-dire \(X < Y\)),
un tarif complet à 200 euros si c’est le module H qui est tombé en panne en premier (c’est-à-dire \(Y < X\)).
On note \(W\) la variable aléatoire qui donne le coût de réparation du capteur.
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(W\).