Les suites \(u\) et \(v\) sont définies à partir du rang \(1\) et strictement positives. Pour tout naturel non nul \(n\), on a :

\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=e^{(n+1)\ln(n+2)+n\ln n-(2n+1)\ln(n+1)}.\] Pour \(x\) réel strictement positif, posons alors \(f(x)=(x+1)\ln(x+2)+x\ln x-(2x+1)\ln(x+1)\). \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et pour \(x>0\),

\[\begin{align*} f'(x)&=\frac{x+1}{x+2}+\ln(x+2)+1+\ln x-\frac{2x+1}{x+1}-2\ln(x+1)\\ &=\frac{x+2-1}{x+2}+\ln(x+2)+1+\ln x-\frac{2x+2-1}{x+1}-2\ln(x+1)\\ &=-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+1}+\ln x+\ln(x+2)-2\ln(x+1). \end{align*}\] De même, \(f'\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et pour \(x>0\),

\[\begin{align*} f''(x)&=\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{2}{x+1}\\ &=\frac{x(x+1)^2-x(x+2)^2+(x+1)^2(x+2)^2+x(x+1)^2(x+2)-2x(x+1)(x+2)^2}{x(x+1)^2(x+2)^2}\\ &=\frac{-2x^2-3x+(x^2+2x+1)(x^2+4x+4)+(x^2+2x)(x^2+2x+1)-2(x^2+x)(x^2+4x+4)}{x(x+1)^2(x+2)^2}\\ &=\frac{3x+4}{x(x+1)^2(x+2)^2}>0. \end{align*}\] \(f'\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) et donc, pour \(x>0\),

\[f'(x)<\lim_{t\rightarrow +\infty}f'(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{t+2}+\frac{1}{t+1}+\ln\frac{t(t+2)}{(t+1)^2}\right)=0.\] Donc, \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\). Or, pour \(x>0\),

\[\begin{align*} f(x)&=(x+1)\ln(x+2)+x\ln x-(2x+1)\ln(x+1)\\ &=(x+(x+1)-(2x+1))\ln x+(x+1)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)-(2x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\\ &=\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)-\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)+2\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{2}{x}}-2\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}. \end{align*}\] On sait que \(\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1\), et donc, quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(f(x)\) tend vers \(0+0+2-2=0\). Comme \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\), pour tout réel \(x>0\), on a \(f(x)>\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0\). f est donc strictement positive sur \(]0,+\infty[\). Ainsi, \(\forall n\in\Nn^*,\;f(n)>0\) et donc \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{f(n)}>1\). La suite \(u\) est strictement croissante. (Remarque. On pouvait aussi étudier directement la fonction \(x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\) sur \(]0,+\infty[\).) On montre de manière analogue que la suite \(v\) est strictement décroissante. Enfin, puisque \(u_n\) tend vers \(e\), et que \(v_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)u_n\) tend vers \(e\), les suites \(u\) et \(v\) sont adjacentes. (Remarque. En conséquence, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\). Par exemple, pour \(n=10\), on obtient \(\left(\frac{11}{10}\right)^{10}<e<\left(\frac{11}{10}\right)^{11}\) et donc, \(2,59...<e<2,85...\) et pour \(n=100\), on obtient \(1,01^{100}<e<1,01^{101}\) et donc \(2,70...<e<2,73...\) Ces deux suites convergent vers \(e\) lentement).

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