Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), avec \(\lambda>0\). On pose, pour tout \(n\geq 1\), \(M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)\).
Donner la fonction de répartition \(F\) de \(X_1\).
Montrer que la fonction de répartition de \(M_n\) est donnée par \(F_{M_n}(x)=\mathbb{P}(M_n\leq x)=F(x)^n\). On pourra considérer l’événement \([X_1\leq x]\cap\cdots\cap[X_n\leq x]\).
On normalise \(M_n\) en posant, pour tout \(n\geq 1\), \(Y_n=\lambda M_n-\ln n\).
Montrer que les fonctions de répartition de \(Y_n\) et \(M_n\) sont liées par \(F_{Y_n}(x)=F_{M_n}\!\left(\frac{x+\ln n}{\lambda}\right)\).
Montrer que, pour tout \(x>0\), \(F_{Y_n}(x)=\left(1-\frac{e^{-x}}{n}\right)^n\).
Soit \(Z\) une variable aléatoire de densité \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^{-x}e^{-e^{-x}}\).
Montrer que la fonction de répartition de \(Z\) est \(F_Z(x)=\mathbb{P}(Z\leq x)=e^{-e^{-x}}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Montrer que la suite \((Y_n)_{n\geq 1}\) converge en loi vers \(Z\).
On modélise la hauteur maximale d’un fleuve pour l’année \(i\) par une variable aléatoire \(X_i\) de loi exponentielle de paramètre \(\lambda=0{,}5\,\mathrm{m}^{-1}\). Les variables \(M_n\) et \(Y_n\) sont définies comme plus haut.
Donner une interprétation de \(M_{100}\) dans ce modèle.
On admet qu’en première approximation, \(Y_{100}\) suit la loi de densité \(g\) de \(Z\). Calculer \(\mathbb{P}(Z>a)\) avec \(a=-\ln(-\ln(0{,}99))\).
On donne \(a\approx 4{,}6\) et \(\ln(100)\approx 4{,}6\). Trouver \(b>0\) tel que \(\mathbb{P}(M_{100}>b)\approx 0{,}01\).