Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On rappelle que la fonction caractéristique de \(Z\) est définie pour tout réel \(t\) par : \[\phi_Z(t)=E(e^{itZ})=e^{-\frac{t^2}{2}}.\]
1
Soit \(\mu\) un réel et \(\sigma\) un réel strictement positif. Sans justifier, donner la loi de \(X=\sigma Z+\mu\), puis calculer la fonction caractéristique de \(X\).
2
Soit \((X_1,\dots{},X_5)\) une suite de 5 variables aléatoires indépendantes et équidistribuées selon une loi normale de moyenne \(\mu=70\) et d’écart type \(\sigma=15\). Soit \(S=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}X_i\).
3
Calculer la fonction caractéristique de \(S\) et en déduire la loi de \(S\).
4
Calculer la valeur de \(P(S>450)\) à \(10^{-2}\) près.