Soit \(n \in \N^*\). Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à \(n\) et \(2\) boules noires numérotées \(1\) et \(2\). On effectue le tirage de toutes les boules de l’urne, une à une, et sans remise. On appelle \(X\) le rang d’apparition de la première boule blanche et \(Y\) celui du premier numéro \(1\).
1
Déterminer la loi de \(X\).
2
Montrer que les événements \(\{X=1\}\) et \(\{Y=1\}\) sont indépendants si et seulement si \(n=2\).
3
Montrer que les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
On suppose maintenant que \(n=2\).
4
Montrer que \(X\) et \(Y\) ont la même loi de probabilité.
5
Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).