Soit \(\lambda >0\). Pour tout \(n \geq \lambda\), on définit une suite \(\left(X_k^n\right)_{k \in \N}\)une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p_n = \frac{\lambda}{n}\). On considère alors la variable aléatoire : \[N_n = \frac{1}{n} \inf\{ k \in N \, , \, X_k^n = 1\}\]
1
Soit un entier \(n \geq \lambda\). Justifier que la variable \(nN_n\) suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
2
Déterminer la fonction caractéristique de la variable aléatoire \(N_n\).
3
En déduire que la suite de variables aléatoires \((N_n)\) converge en loi vers une loi usuelle que l’on précisera.