Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in \R\) par : \[f(x)=\frac{a b^a}{x^{a+1}} \mathbf{1}_{[b;+\infty[}(x).\]
Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
Dans la suite, on note \(X\) une variable aléatoire suivant la loi de densité \(f\). On dit alors que \(X\) suit une loi de Pareto de paramètres \(a\) et \(b\).
Montrer que la fonction de répartition de la loi de Pareto de paramètres \(a\) et \(b\) est donnée pour tout \(t \in \R\) par : \[F(t)=\begin{cases} 0 & \text{si } t < b \\ 1 - \frac{b^a}{t^a} & \text{si } t \geq b \end{cases}\]
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0;1]\). Montrer que la variable aléatoire \(Y = b U^{-\frac{1}{a}}\) suit la loi de Pareto de paramètres \(a\) et \(b\).
En déduire un programme en Python (ou en langage naturel) permettant de simuler une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètres \(a\) et \(b\). On suppose acquis que la fonction rand() simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0;1]\).
Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance si et seulement si \(a>1\) puis montrer que dans ce cas, \(\EX = \frac{ab}{a-1}\).
On considère le programme Python suivant :
def surprise(a, b):
L = []
for p in range(5):
S = 0
for i in range(10 ** p):
S = S + pareto(a, b)
L.append(S / 10 ** p)
return LQue contient la liste L renvoyée par la fonction surprise ?
On exécute la fonction surprise(2, 1) et on obtient la liste suivante :
[2.0086758965462077, 2.0955498340858476, 1.982373410207895, 2.3281900268025373, 1.9814394974836453]
On exécute ensuite la fonction surprise(1, 4) et on obtient la liste suivante :
[18.267993642430078, 315.70341942673815, 18.99208132191137, 37.82281968971657, 109.82384813797769]
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