On souhaite calculer à l’aide d’une méthode de Monte Carlo une approximation de l’intégrale \[I=\int_0^1 \sin(\sqrt{x})dx\] Soit \((X_i)_{i \in \mathbb{N}^*}\) une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées selon une loi uniforme \(\mathcal{U}([0;1])\).
Démontrer que si on définit la suite de variables aléatoires \((I_n)\) par \[I_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sin\left( \sqrt{X_k} \right)\] alors la suite \((I_n)\) converge presque sûrement vers la constante \(I\).
Compléter le code Python ci-dessous, comportant deux champs manquants, afin qu’il affiche une approximation de \(I\).
n = 1000
S = 0
for i in range(n):
u = ...
S = ...
print("Valeur approchée de I = ")
print(...)Pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), on pose \(Y_k= \sin\left( \sqrt{X_k} \right)\). Les variables aléatoires \((X_k)\) étant i.i.d., les variables aléatoires \((Y_k)\) le sont aussi et on note \(\mu\) leur espérance et \(\sigma^2\) leur variance.
Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(I_n\) en fonction de \(\mu\), \(\sigma\) et \(n\).
Déterminer, en justifiant, une approximation de la loi de la variable aléatoire \[\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(I_n-I)\] lorsque \(n\) est suffisamment grand.
En déduire le nombre d’itérations \(N_0\) (dépendant de \(\sigma\)) à partir duquel la suite \((I_n)\) réalise une approximation de \(I\) à \(10^{-3}\) près avec une confiance de \(95\%\).
Soit la variable \[V_n = \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n (Y_{2k}-Y_{2k-1})^2\] Vérifier que la suite \((V_n)\) permet d’approcher la valeur de \(\sigma^2\).