On considère \(n\) lampes, \(n \in \mathbb{N}^*\). La durée de vie (en années) d’une lampe est une variable aléatoire absolument continue dont la densité \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f \colon t \mapsto \frac{1}{16} t e^{-\frac{t}{4}} 1_{[0;+\infty[}(t)\] On suppose que les lampes évoluent de manière indépendante.
Pour tout entier \(i \in \{1,...,n\}\), on note \(X_i\) la variable aléatoire égale à la durée de vie de la \(i\)-ème lampe.
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X_1\).
Un appareil de type \(A\) comporte 6 lampes, toutes nécessaires à son fonctionement. On note \(T = \min\limits_{i \in \{1,...,6\} }(X_i)\).
Que modélise la variable aléatoire \(T\) ?
Déterminer la loi de \(T\).
Calculer la probabilité que l’appareil de type \(A\) fonctionne de manière continue pendant au moins 4 ans à partir de sa mise en marche, sans changer de lampe.
Un appareil de type \(B\) fonctionne avec une lampe seulement. On dispose cette fois d’une lampe de remplacement. Lorsque l’appareil fonctionne et que la lampe tombe en panne, celle-ci est immédiatement remplacée par la lampe de remplacement. Soit \(U\) la variable aléatoire donnant la durée de fonctionnement d’un appareil de type \(B\) avec une lampe de remplacement.
Exprimer \(U\) en fonction de \(X_1\) et \(X_2\).
Déterminer la loi de \(U\).
On dispose de 4 appareils de type \(B\), sans aucune lampe de remplacement. On met en marche ces 4 appareils simultanément. On note \(V\) le temps durant lequel au moins un des 4 appareils fonctionne.
Exprimer \(V\) en fonction de \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), \(X_4\).
En déduire la loi de \(V\).