Un centre de commandement envoie des ordres à un escadron de drones militaires. Pour des raisons opérationnelles (sécurité des fréquences, variations de propagation, interférences), chaque drone \(i\) subit une latence de délai entre la réception de la commande et son exécution. On modélise cette latence aléatoire par une variable aléatoire \(X_i\) (en secondes) suivant une loi uniforme sur un intervalle \(\left[-d;d\right]\) (le système est calibré pour annuler le délai moyen).
La fonction caractéristique d’une variable aléatoire \(X_i\) suivant une loi uniforme sur \([-d;d]\) est donnée par : \[\phi_{X_i}(t) = \mathbb{E}[e^{itX_i}] = \frac{1}{2d} \int_{-d}^{d} e^{itx} \, \mathrm{d}x = \frac{\sin(dt)}{dt}.\]
Le centre de commandement s’intéresse au temps de latence cumulé \(S_n=X_1+...+X_n\). Montrer que la suite de variable aléatoires \(\left(\frac{\sqrt{3}S_n}{\sqrt{n}d}\right)\) converge en loi vers une loi normale centrée réduite.
En déduire l’égalité suivante : \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{3}t}\sin\left(\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{n}}\right)\right)^n = e^{-\frac{t^2}{2}}.\]
En supposant que \(n=100\) et \(d=10\), déterminer une valeur approchée de \(\epsilon\) tel que \(\prob\left(\left|S_n\right|\leq\epsilon\right)=0{,}95\).