Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) de \(\Rr^n\) dans \(\Rr^n\), et on suppose (pour simplifier) que, pour toute donnée initiale \(x\) de \(\Rr^n\), il existe une unique solution passant par \(x\) au temps \(t=0\), définie sur \(\Rr\) tout entier. On note \(\phi(t, x)\) cette solution (ou \(\phi\) le flot du champ).
1
Montrer qu’on a \(\phi(s,\phi(t,x))=\phi(s+t,x)\) pour tous \(s,t\in \Rr\). et la vérifier sur l’équation \(x'=x^2, x(0)=\alpha\geq0\) aprés avoir précisé le domaine de définition du flot.
2
On fait \(n=2\); décrire le flot lorsque \(f(x,y)=(-x,y);\quad (y,x);\quad (-y,x)\), et vérifier la relation précédente.