Soit une suite de variables indépendantes \((U_i)_{i \in \N^*}\) suivant chacune une loi uniforme \(\mathcal{U}([0;1])\). Pour tout \(n \in \N^*\), on pose \(M_n = \max(U_1,...,U_n)\).
1
Démontrer que \(M_n \xrightarrow[]{\mathcal{P}} 1\).
2
En déduire que \(M_n \xrightarrow[]{\text{p.s.}} 1\) et \(M_n \xrightarrow[]{\text{en loi}} 1\).
3
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose \(Y_n = n(1-M_n)\). Démontrer que la suite \((Y_n)\) converge en loi vers une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.