On fixe un réel \(a>0\) et on définit une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb N\) dont la loi est donnée par \[\mathbb P(X=k)=\frac{a^k}{(1+a)^{k+1}}\qquad\text{pour tout }k\in\mathbb N.\] On dispose d’un échantillon \((X_1,\ldots,X_n)\) de variables indépendantes de même loi que \(X\), de réalisation \((x_1,\ldots,x_n)\). On pose \(s_x=\sum_{i=1}^nx_i\).
Exprimer la vraisemblance \(L(x_1,\ldots,x_n,a)\) en fonction de \(s_x\), \(n\) et \(a\).
On suppose \(s_x>0\). Déterminer l’estimation \(\widehat a_{\mathrm{obs}}\) du maximum de vraisemblance, puis l’estimateur correspondant. Que se passe-t-il si toutes les observations sont nulles ?
Montrer que \(\mathbb E(X)=a\).
En déduire le biais de l’estimateur du maximum de vraisemblance.