Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la note \(p\). Pour approcher cette valeur, on effectue un sondage sur \(n\) personnes : l’échantillon est modélisé par une suite de variables aléatoires indépendantes \((X_1,...,X_n)\) suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) (\(X_i=1\) si le \(i\)-ème individu souhaite voter pour Mme A., \(X_i=0\) sinon).
On note \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\) de sorte que \(\frac{S_n}{n}\) représente la proportion de personnes votant pour Mme A. dans l’échantillon.
Quelle est la loi suivie par \(S_n\) ?
Déterminer l’espérance et la variance de \(\frac{S_n}{n}\).
Soit \(\varepsilon >0\). Démontrer que \[\PP\left(\left| \frac{S_n}{n}-p \right| > \varepsilon \right) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}\]
Comment choisir la taille de l’échantillon de sorte que le résultat du sondage soit proche de \(p\) à \(\varepsilon=0.05\) près avec une probabilité supérieure à \(95\%\) ?