Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \prob)\) un espace probabilisé. On considère deux variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) telles que \(X(\Omega) = \{1,2,3\}\), \(Y(\Omega) = \{1,2,3,4\}\) et \(\prob(X = x, Y = y)\) et : \[\forall i \in \{1,2,3\}, \quad \prob(X=i, Y=i) = \prob(X=i, Y=i+1) = \frac{1}{6}.\]
1
Déterminer la loi du couple de variables aléatoires \((X,Y)\) sous forme d’un tableau.
2
Déterminer les lois marginales du couple \((X,Y)\) puis calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{E}(Y)\).
3
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
4
On pose \(Z = X - Y\). Déterminer la loi du couple \((X,Z)\). Les variables aléatoires \(X\) et \(Z\) sont-elles indépendantes ?