On munit \(E =C^1[0,1]\) et \(F=C [0,1]\) de la norme \(\Vert f\Vert _{\infty }= \displaystyle{ \sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }\).
1
Soit \(\varphi : E\rightarrow F\) une application linéaire. On pose \(N(\varphi ) =\displaystyle{ \sup _{f\in E; \Vert f \Vert _{\infty}=1}\vert \varphi (f)\vert } .\) Montrer que \(\varphi\) est continue si et seulement si \(N(\varphi )\) est fini.
2
Montrer que l’application \(f\mapsto f'\) n’est pas continue.