Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Espace probabilisé
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble des résultats possibles de l’épreuve ou expérience aléatoire (univers). Événements. Événement certain, événement impossible, événements incompatibles. | On se limite au cas où l’algèbre des événements est l’ensemble des parties d’un ensemble fini $\Omega$. |
Système complet d’événements. | Un système complet pour $\Omega$ est une famille d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l’ensemble $\Omega$. |
Probabilité sur $\Omega$. | |
Propriétés d’une probabilité : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$, $P(\varnothing) = 0$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. | La formule générale du crible est hors programme. On pourra voir comment retrouver la formule dans le cas de 3 événements. |
Formule des probabilités totales : Si $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ est un système complet d’événements et $B$ un événement, on a : $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \cap A_i)$. | |
Cas de l’équiprobabilité : probabilité uniforme. |
Calcul de la fonction softmax et perte entropie croisée
Un réseau multiclasse produit les scores bruts \(z = [3,\ 1,\ 0]\) pour 3 classes. On rappelle que ...
Calcul de probabilité
On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note \(a, b\) et \(c\) les résultats succe ...
Calcul de probabilité
On jette un dé à 6 faces et on observe le résultat.
Calcul de probabilité
On jette un dé à 6 faces et on observe le résultat.
Définition d'une probabilité
Déterminer une probabilité sur \(\Omega = \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}\) telle que la probabilité de l’événe ...
Définition et propriété d'une probabilité
A quelle(s) condition(s) sur \(x,y \in \mathbb{R}\) existe-t-il une probabilité sur ...
exo7 247
L’histoire: \(n\) personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas f ...
exo7 5282
Quelle est la probabilité \(p_n\) pour que dans un groupe de \(n\) personnes choi ...
exo7 5983
Une entreprise décide de classer \(20\) personnes susceptibles d’être embauchées; leurs CV étant très proches, le ...
exo7 5984
Un étudiant s’habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d’habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes; il y a ce ...
exo7 5986
Un QCM comporte \(10\) questions, pour chacune desquelles \(4\) réponses sont pro ...
exo7 5988
Lors d’une loterie de Noël, \(300\) billets sont vendus aux enfants de l’école ; ...
exo7 5989
La probabilité pour une population d’être atteinte d’une maladie \(A\) est \(p\) ...
exo7 5990
Dans un jeu de \(52\) cartes, on prend une carte au hasard : les événements <<tirer un roi>> et <&l ...
exo7 5991
La famille Potter comporte \(2\) enfants; les événements \(A\) : <<il y a d ...
exo7 5996
Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
exo7 6001
Dans mon trousseau de clés il y a \(8\) clés; elles sont toutes semblables. Pour rentrer chez moi je mets une clé ...
exo7 6002
Six couples sont réunis dans une soirée de réveillon. Une fois les bises de bonne année échangées, on danse, de façon conventionnelle: un homme ave ...
exo7 6003
Dans l’ancienne formule du Loto il fallait choisir 6 numéros parmi 49.
exo7 6004
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on ...
exo7 6006
On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements:
...
exo7 6008
L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois s ...
exo7 6889
On lance deux dés à 6 faces. Décrire l’ensemble \(\Omega\) des résultats possibles et la probabilité ...
exo7 6890
Au loto, on choisit 6 numéros principaux, qui sont 6 nombres différents entre 1 et 49, et un numéro complémentaire, qui est un nombre entre 1 et 49 ...
exo7 6891
Une urne contient une boule rouge, trois boules vertes et seize boules blanches. La boule rouge permet de gagner 10 euros, chaque boule verte perme ...
exo7 6892
On lance trois dés non pipés. On note le nombre de points (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) qui apparaît sur la face supérieure de chaque dé. Calculer la probab ...
exo7 6893
Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l’auberge. D’Artagnan se lève le premier et prend deux ...
exo7 6894
On tire simultanément 6 cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 2 dames et 3 trèfles ?
exo7 6899
Une personne lance deux dés à 6 faces et dit qu’elle a obtenu au moins un nombre pair. Quelle est la probabilité que les deux nombres obtenus soien ...
exo7 6902
Soit \(n\) un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de ...
exo7 6909
On lance quatre dés. Quelle est la probabilité d’obtenir deux 6 et deux 3 ?
exo7 6911
On considère \(\Omega=\{1,2,3,4\}\). Parmi les choix suivants, quels sont ceux qui donnent une probabilité ...
exo7 6954
On considère un cercle. On choisit une corde au hasard et on cherche la probabilité pour que cette corde passe à l’intérieur d’un triangle équilaté ...
Probabilité d'événements
Soit \((\Omega, \mathcal{T}, \prob)\) un espace probabilisé et trois événements ...
Probabilités et divisibilité
Soit un entier \(n\) naturel non nul et non premier. On note ...