Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Dérivée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivée en un point. Dérivée à gauche, dérivée à droite. Fonction dérivée. Notations $f'$ et $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$. | |
Interprétation graphique, équation de la tangente à une courbe d’équation $y = f(x)$. | Révisions des acquis des classes antérieures. |
Opérations sur les dérivées : linéarité, produit, quotient, fonction composée. | La formule de Leibniz est hors programme. |
Dérivation d’une fonction réciproque. | Dérivée de la fonction arctan. |
exo7 3978
Trouver toutes les fonctions \(\varphi : \R \to \R\) dérivables telles que ...
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3981
Soit \(f : \R \to \R\) convexe et \(x < y < z\). Montrer que ...
exo7 3989
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) deux fois dérivable telle que ...
exo7 3993
Soit \(f : {\R} \to {\R^{+*}}\). Montrer que : (\(\ln f\) est convexe) ...
exo7 3997
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable, et \(A = (a,b) \in \R^2\). Étudier le n ...
exo7 3998
Soit \(f : \R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 3999
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue. On suppose que : ...
exo7 4000
Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels. On pose ...
exo7 4002
Soit \(f:\R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4031
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 4035
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4036
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4096
Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4321
Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de ...
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4407
Soit \(f : \R \to {\C^*}\) telle que : \(\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)\). ...
exo7 4540
Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
exo7 4542
Soit \(f\in \mathcal{C}^{\infty}(\R)\). On définit la suite \((f_n)_{n\in\N^*}\) ...
exo7 4554
On pose \(\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}\).
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4690
On considère l’équation : \(x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1 = 0\).
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4857
Soient \({f,g} : {I\subset \R} \to E\) deux fonctions vectorielles de classe ...
exo7 5028
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...
exo7 5092
On considère la fonction numérique \(f\) telle que :
...
exo7 5098
Trouver la plus grande valeur de \(\sqrt[n]{n}\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 5236
Etudier les deux suites \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) et ...
exo7 5383
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage de \(0\) telle que ...
exo7 5407
Soit \(f\in C^1([a,b],\Rr)\) telle que ...
exo7 5414
Montrer que la fonction définie sur \(\Rr\) par \(f(x)=e^{-1/x^2}\) si ...
exo7 5417
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) à valeurs dans ...
exo7 5419
Etudier la dérivabilité à droite en \(0\) de la fonction ...
exo7 5421
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5423
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5424
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...