Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Analyse 4 – Équations différentielles linéaires simples
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L’objectif de ce chapitre est de rappeler et d’approfondir la problématique des équations différentielles, en vue des usages qui en sont faits en physique, chimie, biologie.
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Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 846
Pour chacune des équations différentielles qui suit : écrire la solution passant par le point M(.,.) et tracer sommairement le graphe de la solutio ...
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On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans \(]0, \infty[\) l’équation différent ...
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Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
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Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
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Trouver les solutions réelles sur l’intervalle maximal de l’équation différentielle : \[t^2y'+y = 1.\]
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Soit l’équation différentielle \[(E)\qquad y'+2xy = x.\]
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Résoudre et raccorder éventuellement :
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Résoudre le système différentiel : ...
exo7 854
Résoudre l’équation différentielle de Ricatti \(x^2y' = x^2y^2 + xy + 1\) en trouvant une solution particulièr ...
exo7 855
Soit l’équation différentielle : \[(E):\frac{dy(x)}{dx}+y(x)=x^{2}+2x\] Intégrer ...
exo7 856
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E)\qquad y'-(1-\tan(x))y=\cos(x).\] On s’intéresse à cet ...
exo7 858
Soit \(f \in C^{1}({\Rr},{\Rr})\) telle que \(f(0)=1\) et ...
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Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
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Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
exo7 861
On considère l’équation homogène \((E) \ \ ay''+by'+cy=0\), avec ...
exo7 862
Résoudre l’équation : \[y^{\prime\prime} +k^2y = \cos{mx}, \quad k,m \in \R.\] On discutera suivant les valeurs d ...
exo7 863
Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- 3y^\prime + 2 y = e^x.\]
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Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x.\]
exo7 865
Résoudre l’équation suivante : \[4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x e^{-x/2} .\]
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 867
Soit \(m \in \R\). Déterminer la solution de l’équation : ...
exo7 868
On considère l’équation différentielle : \[y''+6y'+9y=d(x) \quad (E)\]
exo7 869
Déterminer une équation différentielle vérifiée par la famille de fonctions ...
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Déterminer une équation différentielle admettant \((r-2)^2=0\) comme équation caractéristique et ...
exo7 871
Déterminer l’ensemble des solutions réelles des équations :
a) \(y^{\prime\prime}+ y^\prime -6y=e^{3x}\),
b) ...
exo7 872
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E.D.) \quad y''-4y'+4y = d(x),\] où ...
exo7 873
Résoudre sur \(\Rr\) :
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Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
exo7 876
Résoudre en posant \(z (t) = y (e^t)\) ou \(y (-e^t)\) suivant le signe de ...
exo7 877
Résoudre l’équation différentielle de Bernouilli \(x^2y^2-xy'-3y = 0\) en supposant que ...
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Résoudre sur \({\Rr }\) : ...
exo7 880
Résoudre : \(y''(x)+2y^{\prime }(x)+y(x)=2x\cos x\cosh x\).
exo7 881
Déterminer les \(f\in C^{2}({\Rr},{\Rr})\) telles que : ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
exo7 883
Montrer que toute solution de \(y''(x)e^{-x^{2}}+y(x)=0\) est bornée sur ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
exo7 885
Résoudre par le changement de fonction \(z=\frac{y}{x}\) l’équation différentielle : ...
Fonction de $n$ variables et laplacien nul
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). So ...
Résolution d'une équation différentielle
Soit l’équation différentielle \((E)\) définie pour \(\alpha>0\) par : ...
Solution d'équation différentielle développable en série entière
Trouver sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Équation différentielle du second ordre et intégrale double
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
Équation différentielle linéaire du premier ordre — variation de la constante
On considère les équations différentielles, définies pour \(x > 0\) : ...