Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Équations du second ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Résolution de $ay'' + by' + cy = f(t)$ où $a, b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ et $f$ une fonction continue sur un intervalle : • résolution de l’équation homogène associée, • principe de superposition, • détermination d’une solution particulière. | La résolution de l’équation homogène se fera à l’aide de l’équation caractéristique. On pourra à cette occasion introduire la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ : $t \mapsto e^{\alpha t}$ avec $\alpha \in \mathbb{C}$. ⇌ On peut traiter en exemple l’équation de l’oscillateur harmonique $y'' + \omega^2 y = 0$ dont les solutions sont présentées sous diverses formes ; et par extension aux sciences physiques dériver et chercher une primitive à $t \mapsto e^{\mathrm{i}\omega t}$. |
La forme d’une solution particulière est donnée sauf lorsque $f$ est une fonction constante. Par exemple, lorsque $f$ est de la forme $t \mapsto \sin(\omega t)$ ou $t \mapsto \cos(\omega t)$, l’énoncé devra indiquer de chercher une solution du type $t \mapsto \lambda\sin(\omega t) + \mu\cos(\omega t)$ ou $t \mapsto \lambda t\sin(\omega t) + \mu t\cos(\omega t)$, $\lambda$ et $\mu$ étant à déterminer. |
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 2693
Un train qui ralentit avec une décélération constante met 20s pour parcourir le premier km et 30s pour parco ...
exo7 4055
Intégrer :
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Intégrer les équations suivantes :
exo7 4058
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 4059
Soit \(k \in \R\). Résoudre ...
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4062
Résoudre \((E) : 4xy''+2y'+y=0\) sachant que \((E)\) admet deux solut ...
exo7 4064
\(x,y,z\) sont des fonctions de \(t\). Résoudre les systèmes :
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4067
On désigne par \(y\) la solution de l’équation différentielle ...
exo7 4068
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que : ...
exo7 4090
Soit \(f : \R \to\R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4091
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\R\) ...
exo7 4093
Soit \(a : \R \to {\R^{+*}}\) une fonction continue.
exo7 4096
Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4106
On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur \(\R\) : ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4349
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4432
Résoudre les équations différentielles : \(y'' + 2y' + 2y = 0\), ...
exo7 4511
Soit \(y_n\) la solution de l’équation : ...
exo7 4661
Soit \(k \in \R\). Résoudre l’équation différentielle ...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 5480
On considère l’équation différentielle \((E)\) : ...
exo7 5874
Résoudre sur \(\Rr\) l’équation différentielle proposée :
exo7 5876
Soit \(f\) une application de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5882
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5884
Trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(]0,+\infty[\) vérifiant ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6316
On considère l’équation différentielle \[(E)\qquad y''+y'+y=0\]
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6320
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6355
On considère l’équation différentielle \({d^2x(t)\over dt^2}={dx(t)\over dt}+2x(t)\).
Ecrire le système dif ...
exo7 6356
Montrer que la matrice ...
exo7 6828
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6997
Résoudre
exo7 6998
On considère \(y''-4y'+4y=d(x)\). Résoudre l’équation homogène, puis trouver une solution particulière ...
exo7 6999
Résoudre sur \(]0;\pi[\) l’équation différentielle ...
exo7 7000
Résoudre les équations différentielles suivantes à l’aide du changement de variable suggéré.
exo7 859
Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
exo7 860
Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
exo7 861
On considère l’équation homogène \((E) \ \ ay''+by'+cy=0\), avec ...
exo7 862
Résoudre l’équation : \[y^{\prime\prime} +k^2y = \cos{mx}, \quad k,m \in \R.\] On discutera suivant les valeurs d ...