Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Propriétés de l’intégrale :
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Linéarité, relation de Chasles, positivité, stricte positivité ($f$ positive non nulle), croissance de l’intégrale. | Les démonstrations ne sont pas exigibles mais les propriétés peuvent être déduites de la relation des sommes de Riemann ou de l’interprétation en termes d’aires. |
Encadrement de l’intégrale à partir d’un encadrement de la fonction. Pour $a < b$, majoration $\left\lvert \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right\rvert \leq \int_a^b \lvert f(t) \rvert\,\mathrm{d}t$. | |
Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment. | La valeur moyenne appartient à l’ensemble des valeurs atteintes par la fonction. |
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4337
Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues et \(a,b \in \R\). On pose ...
exo7 520
Soit \(H_n = 1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac1n\).
exo7 5222
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5444
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et strictement positives sur ...
exo7 5446
Limites de ...
exo7 5448
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5452
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5455
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que ...
exo7 5456
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues par morceaux et positives sur ...
exo7 5459
Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
...
exo7 5463
Déterminer les fonctions \(f\) continues sur \([0,1]\) vérifiant ...
exo7 5499
Soit \(f\) continue strictement positive sur \([0,1]\). Pour ...
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 5723
Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5925
Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 788
Soit \(f\in C([0,1],{\Rr})\) telle que : ...
exo7 789
Soit \(f\) une fonction \(C^{1}\) sur \([a,b]\) ...
exo7 790
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 792
Calculer sans utiliser de primitive, pour \(a<b\) : \[\int_{a}^{b}e^{t}dt.\] ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 794
Soient \(f\) et \(g\) de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...