Parcourir les exercices

Soit \(E\) un ensemble fini muni d’une opération interne \(*\) assoc ...

Soit \(E\) un ensemble et \(G = {\cal P}(E)\).

Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...

Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de ...

Soient \(H,K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\). Pour ...

Soit \(E\) un ensemble fini et \(A = {\cal P}(E)\).

Soit \(n \in \N^*\). Montrer qu’il existe \(p \in \N\) et ...

Soit \(f : {\N} \to {\N}\) telle que : ...

Soit \(x\in\Q\), \(0<x<1\). On définit une suite ...

Démontrer que si \(r \in \Q\) et \(x \notin \Q\) alors ...

Montrer que \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel.

Étant donné un ensemble \(A \subset\mathbb{R}\), écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes :

Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...

Exprimer à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation.

Donner la négation des phrases suivantes

Les phrases suivantes sont-elles équivalentes ?

Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...

Montrer par récurrence que, pour tout naturel non nul \(n\), ...

Soient \((A_i)_{i\in I}\) une famille de parties d’un ensemble \(E\) indéxée par ...

Montrer qu’il existe une injection de \(E\) dans \(\mathcal{P}(E)\).

Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.

Montrer que, pour \(n\geq2\),

On donne \(n\) droites du plan. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient c ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) la suite définie par \(u_0=0\), ...

On considère la suite réelle définie par : \[x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.\]

Si \(30\) personnes sont présentes à un réveillon et si, à minuit, chaque personne fait ...

Montrer \(\forall n \in \N,\: \sum_{k=0}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\).

Montrer que pour tout entier \(n\) positif, l’entier \(10^n - (-1)^n\) est divisi ...

Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=0\) et pour t ...

Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie par \(u_0=1\), ...

Montrer que pour tout \(n\in \N\), la somme des \(n\) premiers entiers positifs i ...

Montrer : \(\forall u\in \R, \forall n\in \N, |\sin(nu)|\leq n|\sin(u)|\).

Soit \(a \in \R_+\). Montrer ...

Soit \(a\in]0,\pi/2[\), et définissons une suite réelle par \(u_0=2\cos(a)\) et p ...

Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), ...

Soit \(A\) une partie de \(\N^*\) contenant ...

Démontrer que tout entier \(n\geq 1\) peut s’écrire comme somme de puissances de deux distinctes.

Démontrer que tout entier \(n\geq 1\) peut s’écrire de façon unique sous la forme ...

Montrer que pour tout \(n>1\) on a l’inégalité ...

Montrer que pour tout entier \(N\geq 2\), ...

Montrer que pour tous \(a,b > 0\) distincts et tout \(n >1\), on a l’inégal ...

Parmi les énoncés suivants, lesquels permettent d’en déduire que \(P_n\) est vraie pour tout ...

On définit une suite \((C_n)_{n\in\N}\) par \(C_0=1\) et pour tout naturel ...

Soit \(x\) un réel tel que \(x+\frac{1}{x}\) soit entier. Montrer que pour tout ...

Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite réelle définie par \(u_0=1\) et pour tout ...

Soit \(n\in \N^*\). On trace \(n\) cercles dans le plan. Montrer que l’on peut co ...

Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles le nombre ...

Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal O\) une partie de ...

Dans l’ensemble \(\R\), il existe une notion de partie bornée : c’est une partie qui est incluse dans un ...

Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal A\) une partie de ...