Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Écriture algébrique des nombres complexes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Nombres complexes. Écriture algébrique. Parties réelle et imaginaire. Propriétés élémentaires de $\mathrm{Re}$ et $\mathrm{Im}$. | |
Représentation géométrique d’un nombre complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur. Interprétation géométrique de la somme de deux complexes. | L’utilisation des nombres complexes pour résoudre des problèmes de géométrie n’est pas un objectif du programme. |
Conjugué d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Propriétés de la conjugaison. | On fait ressortir l’efficacité du formalisme de la conjugaison (par exemple pour montrer qu’un nombre complexe est réel ou imaginaire pur). |
Module d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Propriétés du module : multiplicativité, inégalité triangulaire. | Suivant les contextes, on choisit la formulation adéquate : $\lvert z \rvert = \sqrt{z\bar{z}}$ ou $\lvert a + \mathrm{i}b \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$. |
exo7 5123
Soit \((ABC)\) un triangle dont les longueurs des côtés \(BC\), ...
exo7 5127
Déterminer les complexes \(z\) tels que \(z\), ...
exo7 5132
Montrer que les solutions de l’équation \(1+z+z^2+...+z^{n-1}-nz^n=0\) sont de module inférieur ou égal à ...
exo7 5133
Pour \(z\in\Cc\setminus\{1\}\), on pose \(Z=\frac{1+z}{1-z}\). Déterminer et cons ...
exo7 5189
Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5207
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe :
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5544
Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...
exo7 592
Soit \(f:\Cc\rightarrow \Cc\) définie par : ...
exo7 61
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (1) \((z-2)/(z-1)=i.\) On donnera la solu ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 62
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et identifié à l’ensemble ...
exo7 63
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et on identifie \(P\) à l’ensem ...
exo7 6444
Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ?
exo7 65
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6662
Si \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels, montrer ...
exo7 6663
Montrer que la fonction \(f(z)=\tan z\) définie par ...
exo7 6664
Résoudre les équations \(e^z=-3\), \(\cos z=2\), ...
exo7 6732
Calculer \(\int_C(z^2+3z)\ dz\) le long des chemins suivants :
exo7 69
Montrer que pour \(u,v \in \Cc\), on a \(|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).\) Donner ...
exo7 7
Effectuer les calculs suivants :
exo7 7005
Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit trois carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés ...
exo7 7008
On admet le résultat suivant:
Quatre points distincts d’affixes \(a, b, c, d\) sont cocycliques ou align ...
exo7 7080
On donne un nombre impair de points du plan \(M_1\), ...\(M_n\). Existe-t-il un p ...
exo7 71
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan complexe, d’affixe \(z\) tels que ...
exo7 72
Soit \(s=(1-z)(1-iz)\).
exo7 7209
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(z^2+\overline{z}-1=0\).
exo7 7210
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(4z^2+8\lvert z\rvert -3=0\).
exo7 7211
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(iz^2-2\bar{z}+2-i=0\).
exo7 7281
Étant donnés quatre points \(A\), \(B\), \(C\), ...
exo7 73
Soit \(A\) un point du plan d’affixe \(\alpha = a+ib\). Déterminer l’ensemble des ...
exo7 75
Déterminer les nombres complexes \(z\in \Cc^{*}\) tels que les points d’affixes ...
exo7 7518
Soit \(z=a+ib\) un nombre complexe non nul. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse de ...
exo7 7519
Soit \(z\) et \(w\) deux nombres complexes. Démontrer que ...
exo7 76
Résoudre dans \(\Cc\) le système: ...
exo7 7607
On paramètre le cercle \(C_r\) privé du point \({-r}\) de centre ...
exo7 7612
Soit \(c\in \Cc\). Montrer que si \(z\in\Cc\), alors ...
exo7 8
Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués :
exo7 9
Représenter sous forme trigonométrique les nombres : ...
exo7 93
Montrer que tout nombre complexe \(z\) non réel de module \(1\) peut se mettre so ...
exo7 94
Soit \(u\), \(v\) des nombres complexes non réels tels que ...
exo7 96
Soit \(\Zz[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \Zz \}\).
exo7 97
Montrer que \(\forall z \in \Cc\) ...
exo7 98
Soit \((a, b, c, d) \in \Rr^4\) tel que \(ad-bc = 1\) et ...
exo7 99
Que dire de trois complexes \(a\), \(b\), \(c\) ...
Racines de nombres complexes
Calculer les racines carrées de \(1, i, 3+4 i, 8-6 i, 7+24 i\).
Simplification de nombres complexes
Simplifier au maximum les expressions complexes suivantes.