Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Notation $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Propriétés $\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \rvert = 1$, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha + \beta)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}$, $\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$, $(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})^n = \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$, formules d’Euler. | |
Arguments d’un nombre complexe non nul. Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul. Linéarisation de $\cos^p(x)\sin^q(x)$. | On met en évidence quelques choix usuels d’intervalles permettant de définir l’argument. À chaque fois que le recours à la formule d’Euler sera nécessaire pour linéariser ou développer des formules, l’énoncé devra l’indiquer. |
exo7 4408
Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on cal ...
exo7 4409
Résoudre dans \(\C\) :
exo7 4410
Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...
exo7 45
Trouver les racines quatrièmes de \(81\) et de \(-81\).
exo7 46
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 49
Résoudre dans \(\Cc\) :
exo7 50
Calculer les racines \(n\)-ièmes de \(-i\) et de ...
exo7 5069
Montrer que \(\sum_{}^{}\cos\left(\pm a_1\pm a_2\pm...\pm a_n\right)=2^n\cos a_1\cos a_2...\cos a_n\) (la somme co ...
exo7 5072
Soit \(a\) un réel distinct de \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) et ...
exo7 5075
On veut calculer \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(\sin\frac{2\pi}{5}\). Pour cela, on ...
exo7 5077
Calculer \(I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^4x\sin^6x\;dx\) et ...
exo7 5080
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5081
Résoudre le système ...
exo7 5083
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\cos(3x)=\sin(2x)\).
exo7 5119
Calculer de deux façons les racines carrées de \(1+i\) et en déduire les valeurs exactes de ...
exo7 5121
On pose \(z=e^{2i\pi/5}\) puis \(a=z+z^4\) et ...
exo7 5122
Soit \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) donné. Résoudre dans ...
exo7 5124
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du pla ...
exo7 5128
On note \(U\) l’ensemble des nombres complexes de module \(1\). Montrer que :
...exo7 5129
Forme trigonométrique de \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}\) et de ...
exo7 5130
Calculer \((1+i\sqrt{3})^9\).
exo7 5131
Déterminer les racines quatrièmes de \(i\) et les racines sixièmes de ...
exo7 5135
On considère l’équation \((E)~:~(z-1)^n-(z+1)^n=0\) où \(n\) est un entier nature ...
exo7 5162
Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}\) (remarquer que si ...
exo7 53
Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \(z^n=\overline{z}\) où ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 54
Résoudre les équations suivantes : ...
exo7 55
Résoudre \(z^6 +27 =0\). (\(z \in \Cc\))
exo7 5544
Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...
exo7 56
Soient \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) trois nombres c ...
exo7 57
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(27 (z-1)^6 + (z + 1)^6 = 0\).
exo7 59
Soit \(\beta \in \Cc\) tel que \(\beta^7=1\) et ...
exo7 6
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : ...
exo7 61
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (1) \((z-2)/(z-1)=i.\) On donnera la solu ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 66
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 6664
Résoudre les équations \(e^z=-3\), \(\cos z=2\), ...
exo7 67
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan co ...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 68
Soit \(H\) une hyperbole équilatère de centre \(O\), et ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 7
Effectuer les calculs suivants :
exo7 70
Soient \(z,z' \in \Cc\) tels que ...
exo7 7005
Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit trois carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés ...
exo7 7006
Soit \(ABC\) un triangle direct. Soient \(P, Q, R\) tels que ...
exo7 7010
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes ...
exo7 7151
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u, \vec v)\). On note ...
exo7 7163
Soit \(ABC\) un triangle. Montrer qu’il est équilatéral direct ssi les affixes (un repère orthonormé direct ayant ...
exo7 7197
Soit \(f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}\), et soit \(\mathcal R\) la relation ...