Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
c) Ensemble des solutions d’un système linéaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Rang d’un système échelonné : c’est son nombre de pivots. | |
Rang d’un système : c’est le rang de tout système échelonné équivalent. | On admet que deux systèmes échelonnés équivalents ont même rang. |
Inconnues principales, inconnues secondaires (variables libres). Résolution d’un système échelonné. | |
Résolution d’un système : un système linéaire a zéro, une seule ou une infinité de solutions. Dans ce dernier cas, on exprime toutes les inconnues en fonction des inconnues secondaires. | On fait le lien avec les problèmes d’intersection de droites et de plans (dans le plan ou dans l’espace). |
Des polynômes
Existe-t-il un polynôme \(P\in \R_3[X]\) vérifiant \(P(1)=P(-1)=P'(1)=1\) ? ...
exo7 1047
On considère la matrice ...
exo7 1065
Discuter suivant les valeurs de \(\lambda \in \Rr\) le rang de la matrice ...
exo7 1128
Calculer le déterminant de la matrice suivante : ...
exo7 1163
Résoudre les systèmes suivants ...
exo7 1164
Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solution : ...
exo7 1166
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 1167
Écrire les conditions, portant sur les réels \(a\), \(b\), ...
exo7 1168
Résoudre et discuter suivant les valeurs de \(b_1\), \(b_2\), ...
exo7 1169
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\), \(a\), ...
exo7 1170
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\) et \(a\) : ...
exo7 1171
Mettre sous forme matricielle et résoudre les systèmes suivants.
exo7 1173
Résoudre et discuter le système linéaire suivant : ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1176
Déterminer le noyau de la matrice \(\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\2&3&7 \end{pmatrix}\) ...
exo7 1178
Trouver les solutions de ...
exo7 1179
Résoudre suivant les valeurs de \(a \in \Rr\) ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1182
Résoudre \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}\).
exo7 1183
Résoudre \(\begin{cases} -cy + bz = \alpha \\ cx-az = \beta \\ -bx + ay = \gamma \end{cases}\).
exo7 1185
On considère le système ...
exo7 1188
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, et \(A\) la ma ...
exo7 1191
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels \(x\) et ...
exo7 1192
Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système suivant, en fonction de \(\alpha,a,b\) et ...
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 2463
Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles le système suivant admet des solutions différentes de ...
exo7 2464
Soit \(a, b\) deux réels différents. Montrer que le système linéaire ...
exo7 2478
Résoudre ...
exo7 2732
En appliquant l’algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant : ...
exo7 2733
Résoudre le système : ...
exo7 2734
Résoudre le système : ...
exo7 2735
Soit \(a\) un nombre réel. On étudie le système linéaire suivant : ...
exo7 2737
Un cycliste s’entraîne chaque dimanche en faisant l’aller-retour d’Issy à Labat. Le trajet Issy-Labat n’est pas horizontal : il y a des montées, de ...
exo7 2738
Soient \(a\), \(b\), et \(c\) trois nombres réel ...
exo7 2739
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2769
Résoudre le système suivant de \(5\) équations à \(6\) inconnues : ...
exo7 2770
Pour chaque couple de matrices \((A_i, b_i)\), \(1\leq i\leq 5\), ci-dessous
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 334
Un coq coûte \(5\) pièces d’argent, une poule \(3\) pièces, et un lot de quatre p ...
exo7 3408
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3409
Étudier l’existence de solutions du système :
...
exo7 3410
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3411
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3412
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3413
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3414
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3415
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3416
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3417
Étudier l’existence de solutions du système : ...