Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Applications linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire, endomorphisme, isomorphisme. Espaces isomorphes. | On introduit les notations $\mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{L}(E)$, mais leur étude n’est pas un attendu du programme. |
Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition, réciproque. Propriétés de ces opérations. | Notation $f^n$ pour $n\in\mathbb{N}$. |
Noyau. Lien avec l’injectivité. | On montre que le noyau est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ. |
Image. Lien avec la surjectivité. | On montre que l’image est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée. |
exo7 1088
Soit \({\Rr}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
exo7 1091
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
exo7 1140
Soit \(B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)\) et \(C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)\). On considère ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1190
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et ...
exo7 1339
Soient \(E\) un espace vectoriel réel de dimension 2 et \((e_1,e_2)\) une base de ...
exo7 1378
Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(\Rr\).
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1413
Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1518
Retrouver la matrice (dans la base indiquée sur le premier dessin) de la transformation subie par chacun des Shadocks ci-dessous. ...
exo7 1519
On considère l’application suivante : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1651
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une application ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1682
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1914
Soient \(a,b>0\). Calculer l’aire de l’ellipse ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 1995
Soit \((0, \vec{i}, \vec{j})\) un repère du plan. Déterminer l’expression analytique dans ce repère de la réflexio ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2214
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) inversible et ...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2238
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices réelles d’ordre ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2431
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes linéaires sur \(C^\infty(\R)\) : ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2458
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) réelles, et ...
exo7 2466
Soit la matrice ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 3307
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.
exo7 3308
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...
exo7 3340
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3420
Soient \(f,f_1,\dots,f_p\) des formes linéaires sur \(K^n\) linéairement indépend ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...