Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 3 – Équations différentielles scalaires autonome d’ordre 1
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Exemples de résolution d’équations différentielles autonomes du type $y'(t)=F(y(t))$, $F$ étant une fonction continue sur un intervalle et à valeurs réelles. | Aucune théorie générale ne doit être faite. Toute étude devra être entièrement guidée. ⇌ On se limite ici à quelques exemples issus de la biologie des populations ou de la cinétique chimique (modèles malthusien, logistique, de Gompertz). ⇌ Lien avec l’informatique : programmation de la méthode d’Euler. Dans un énoncé, la méthode d’Euler sera rappelée. |
exo7 2558
On considère l’équation \[x'=3x^{2/3} \mbox{ :} (1)\] avec condition initiale ...
exo7 4110
\(y' = y(1+y)\).
exo7 4111
\(y-xy' = \sqrt{x^2+y^2}\).
exo7 4112
\(xy'+y = xy^3\).
exo7 4117
\(y'' = \sin y\), \(y(0) = \frac\pi2\), ...
exo7 4118
Existe-t-il des solutions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\) de l’équation di ...
exo7 4119
Soit \(y\) la solution maximale de l’équation \(y' =x^3+y^3\) telle que ...
exo7 4120
Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).
exo7 4122
On considère l’équationn différentielle \((E) : x'=x^{2}-t\) et l’ensem ...
exo7 4123
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) strictement positive et ...
exo7 4124
On considère l’équation : \(y' = 2ty + y^2,\ y(t_0) = y_0\). Soit \(y\) une s ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6315
Soit \(f,g\) deux fonctions réelles continues sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 6321
On considère l’équation \((1)\quad x'=3x^{2/3}\) avec condition initiale ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6334
On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
exo7 6336
Calculer les premiers termes de l’itération de Picard avec les conditions initiales données. Si possible trouver des solutions explicites, y compri ...
exo7 6823
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (1,1+y^2)\).
exo7 6829
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2,xy)\).
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).